- 数学Ⅰ｜数と式「根号を含む分数の分母の有理化」の基本例題解説ページです。
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問題｜根号を含む分数の分母の有理化
数と式 34\(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,\sqrt{3}\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}-2\,}{\,\sqrt{5}+2\,}\) の分母を有理化する計算方法は？また、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}-1\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}+\sqrt{3}\,}\) の計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
根号を含む分数の分母の有理化
Point：根号を含む分数の分母の有理化
① \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) の公式が使えるように、分母の真ん中の符号を逆にした式を、分母分子に掛ける。
\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}{\,(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}\)
② 分母分子をそれぞれ展開し、整理する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}{\,(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-2\,}{\,3-2\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{6}-2\end{eqnarray}\)
根号を含む分数の分母の有理化は、
① \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) の公式が使えるように、分母の真ん中の符号を逆にした式を、分母分子に掛ける。
\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}{\,(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}\)
② 分母分子をそれぞれ展開し、整理する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}{\,(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-2\,}{\,3-2\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{6}-2\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜根号を含む分数の分母の有理化
数と式 34
\(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,\sqrt{3}\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}-2\,}{\,\sqrt{5}+2\,}\) の分母を有理化する計算方法は？また、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}-1\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}+\sqrt{3}\,}\) の計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
分母分子に \(\sqrt{3}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\sqrt{3}\,}{\,(\sqrt{3})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\sqrt{3}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
分母が \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) であるので、真ん中の符号を逆にした \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) を分母分子に掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}{\,(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}{\,(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\,}{\,(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-2\,}{\,3-2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-2\,}{\,1\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{6}-2\end{eqnarray}\)
分母が \(\sqrt{5}+2\) であるので、真ん中の符号を逆にした \(\sqrt{5}-2\) を分母分子に掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}-2\,}{\,\sqrt{5}+2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{5}-2)\,}{\,(\sqrt{5}-2)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sqrt{5}-2)^2\,}{\,(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sqrt{5})^2+2\sqrt{5} \cdot (-2)+(-2)^2\,}{\,(\sqrt{5})^2-2^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5-4\sqrt{5}+4\,}{\,5-4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9-4\sqrt{5}\,}{\,1\,}\\[5pt]~~~&=&9-4\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
それぞれの分数を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}-1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{3}+1)\,}{\,(\sqrt{3}+1)\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}+\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{5}-\sqrt{3})\,}{\,(\sqrt{5}-\sqrt{3})\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,(\sqrt{3})^2-1^2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}-\sqrt{3}\,}{\,(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,3-1\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}-\sqrt{3}\,}{\,5-3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}-\sqrt{3}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1+\sqrt{5}-\sqrt{3}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{5}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
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