- 数学Ⅰ｜数と式「対称式を用いた式の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜対称式を用いた式の値
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
対称式を用いた式の値
対称式を用いた式の値は、
① 基本対称式 \(x+y~,~\)\(xy\) の値を求める。
\(x+y=2\sqrt{3}~,~xy=1\)
② 求めたい式を式変形し、基本対称式 \(x+y~,~\)\(xy\) で表す。
\(x^2y+xy^2=xy(x+y)\)
\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,(x+y)^2-2xy\,}{\,xy\,}\)
③ 基本対称式の値を代入して式の値を求める。
※ 対称式とは、\(x\) と \(y\) を交換しても同じ式になる式。
※ \(x^2+y^2\) の式変形は、
\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) より、
\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)
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詳しい解説｜対称式を用いた式の値
\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}\) のとき、式 \(x+y~,~\)\(xy~,~\)\(x^2y+xy^2~,~\)\(x^2+y^2~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}~,~\)\(x^2+xy+y^2\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(x\) と \(y\) をそれぞれ有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}{\,(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}{\,(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}{\,3-2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{3}-\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\,(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\,(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\,3-2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&=&(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{3}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~xy&=&(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})
\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2
\\[3pt]~~~&=&3-2
\\[3pt]~~~&=&1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2y+xy^2&=&xy(x+y)
\\[3pt]~~~&=&1 \cdot 2\sqrt{3}\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&(x+y)^2-2xy
\\[3pt]~~~&=&(2\sqrt{3})^2-2 \cdot 1\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&4 \cdot 3-2
\\[3pt]~~~&=&12-2
\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x+y)^2-2xy\,}{\,xy\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(2\sqrt{3})^2-2 \cdot 1\,}{\,1\,}\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&4 \cdot 3-2
\\[3pt]~~~&=&12-2
\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\\[3pt]~~~&=&(x+y)^2-xy
\\[3pt]~~~&=&(2\sqrt{3})^2-1\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&4 \cdot 3-1
\\[3pt]~~~&=&12-1
\\[3pt]~~~&=&11\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
