- 数学Ⅰ｜数と式「交代式や3次式の対称式の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜交代式や3次式の対称式の値
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
交代式や3次式の対称式の値
交代式や3次式の対称式の値は、
① 基本対称式 \(x+y~,~\)\(xy\) の値と \(x-y\) の値を求める。
② 求めたい式を式変形し、基本対称式 \(x+y~,~\)\(xy\) や差 \(x-y\) を用いて表す。
\(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)
\(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\)
\(x^3-y^3=(x-y)^3+3xy(x-y)\)
③ 値を代入して式の値を求める。
※ 交代式とは、\(x\) と \(y\) を入れ替えると、もとの式に \(-1\) を掛けた式になる式。
※ \(x^3+y^3\) の式変形は、
\((x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3+y^3&=&(x+y)^3-3x^2y-3xy^2\\[3pt]~~~&=&(x+y)^3-3xy(x+y)\end{eqnarray}\)
※ \(x^3-y^3\) の式変形は、
\((x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-y^3&=&(x-y)^3+3x^2y-3xy^2\\[3pt]~~~&=&(x-y)^3+3xy(x-y)\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜交代式や3次式の対称式の値
\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}\) のとき、式 \(x^2-y^2~,~\)\(x^3+y^3~,~\)\(x^3-y^3\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(x\) と \(y\) をそれぞれ有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}{\,(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}{\,(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}{\,3-2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{3}-\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}-\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\,(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\,(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+\sqrt{2}\,}{\,3-2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&=&(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{3}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~xy&=&(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})
\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2
\\[3pt]~~~&=&3-2
\\[3pt]~~~&=&1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x-y&=&(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{2})
\\[3pt]~~~&=&-2\sqrt{2}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-y^2
\\[3pt]~~~&=&(x+y)(x-y)
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{3} \cdot (-2\sqrt{2})\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,3\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&-4\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^3+y^3
\\[3pt]~~~&=&(x+y)^3-3xy(x+y)
\\[3pt]~~~&=&(2\sqrt{3})^3-3 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3}\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&8 \cdot 3\sqrt{3}-6\sqrt{3}
\\[3pt]~~~&=&24\sqrt{3}-6\sqrt{3}
\\[3pt]~~~&=&18\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(x-y)^3+3xy(x-y)
\\[3pt]~~~&=&(-2\sqrt{2})^3+3 \cdot 1 \cdot (-2\sqrt{2})\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&-8 \cdot 2\sqrt{2}-6\sqrt{2}
\\[3pt]~~~&=&-16\sqrt{2}-6\sqrt{2}
\\[3pt]~~~&=&-22\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
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