- 数学Ⅰ｜数と式「逆数との和x+1/xと対称式の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜逆数との和x+1/xと対称式の値
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
逆数との和x+1/xと対称式の値
逆数の和 \(x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) を用いた対称式の値は、
① \(x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) や \(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の値を求める。
② 求めたい式を \(x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) や \(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) を用いて表し、値を代入する。
※ このとき、\(x \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=1\) を利用する。
\(x^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}=\left(x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2-2\)
\(x^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}=\left(x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\left(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\)
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詳しい解説｜逆数との和x+1/xと対称式の値
\(x=\sqrt{5}-2\) のとき、\(x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(x^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~\)\(x^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(x=\sqrt{5}-2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,\sqrt{5}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,(\sqrt{5})^2-2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,5-4\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{5}+2\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}&=&(\sqrt{5}-2)+(\sqrt{5}+2)
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{5}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}&=&(\sqrt{5}-2)-(\sqrt{5}+2)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{5}-2-\sqrt{5}-2
\\[3pt]~~~&=&-4~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2-2 \cdot x \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&(2\sqrt{5})^2-2\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&4 \cdot 5-2
\\[3pt]~~~&=&20-2
\\[3pt]~~~&=&18\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\left(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{5}{\, \small \times \,}(-4)\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&-8\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
