絶対値を含む1次方程式・1次不等式

\(|\, x \,|=3\) の絶対値を外して表すと、

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　\(x=\pm 3\)

 
 

\(|\, x \,| \gt 3\) の絶対値を外して表すと、

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　\(x \lt -3~,~3 \lt x\)

 
 

\(|\, x \,|{\small ~≦~}3\) の絶対値を外して表すと、

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　\(-3{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\)

 
 

\(|\, 2x-3 \,|=1\) の絶対値を外して表すと、

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　\(2x-3=\pm 1\)

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\(2x-3=1\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~2x&=&1+3\\[3pt]~~~2x&=&4\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)

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\(2x-3=-1\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~2x&=&-1+3\\[3pt]~~~2x&=&2\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、\(x=1~,~2\) となる

 
 

\(|\, 2x-3 \,|{\small ~≧~}1\) の絶対値を外して表すと、

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　\(2x-3{\small ~≦~}-1~,~1{\small ~≦~}2x-3\)

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ここで、

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　\(\begin{eqnarray}~~~2x-3&{\small ~≦~}&-1\\[3pt]~~~2x&{\small ~≦~}&-1+3\\[3pt]~~~2x&{\small ~≦~}&2\\[3pt]~~~x&{\small ~≦~}&1\end{eqnarray}\)

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また、

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　\(\begin{eqnarray}~~~1&{\small ~≦~}&2x-3\\[3pt]~~~-2x&{\small ~≦~}&-3-1\\[3pt]~~~-2x&{\small ~≦~}&-4\end{eqnarray}\)

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両辺を \(-2\) で割ると不等号の向きが変わるので、

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　\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-2x\,}{\,-2\,}&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,-4\,}{\,-2\,}\\[5pt]~~~x&{\small ~≧~}&2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(x{\small ~≦~}1~,~2{\small ~≦~}x\) となる

 
 

\(|\, 2x-3 \,| \lt 1\) の絶対値を外して表すと、

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\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 2x-3 \lt 1\\[3pt]~~~-1+3 &\lt& 2x \lt1+3\\[3pt]~~~2 &\lt& 2x \lt 4\\[3pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,} &\lt& \displaystyle \frac{\,2x\,}{\,2\,} \lt \displaystyle \frac{\,4\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~1 &\lt& x \lt 2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(1 \lt x \lt 2\) となる