このページは、「2つの不等式の解の条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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2つの不等式の解の条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ012つの不等式
\(|\,x-7\,| \lt 2\) …①
\(|\,x-3\,| \lt k\) …②
について、次の問に答えよ。ただし、\(k\) は正の定数とする。
\({\small (1)}~\) ①、②をともに満たす実数 \(x\) が存在するような \(k\) の値の範囲を求めよ。
\({\small (2)}~\) ①の解が②の解に含まれるような \(k\) の値の範囲を求めよ。
\(|\,x-7\,| \lt 2\) …①
\(|\,x-3\,| \lt k\) …②
について、次の問に答えよ。ただし、\(k\) は正の定数とする。
\({\small (1)}~\) ①、②をともに満たす実数 \(x\) が存在するような \(k\) の値の範囲を求めよ。
\({\small (2)}~\) ①の解が②の解に含まれるような \(k\) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.49 練習問題B 14
\({\small (1)}~\)
不等式①の解は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,x-7\,| \lt 2
\\[3pt]~~~&&-2 \lt x-7 \lt 2
\\[3pt]~~~&&-2+7 \lt x \lt 2+7
\\[3pt]~~~&&5 \lt x \lt 9~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
不等式②の解は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,x-3\,| \lt k
\\[3pt]~~~&&-k \lt x-3 \lt k
\\[3pt]~~~&&-k+3 \lt x \lt k+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) をともに満たす \(x\) の値が存在するとき、
※ 2つの範囲が重なる部分があればよい。
\(5 \lt k+3\) かつ \(-k+3 \lt 9\) であればよい
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~5 &\lt& k+3
\\[3pt]~~~-k &\lt& 5-3
\\[3pt]~~~-k &\lt& -2
\\[3pt]~~~k &\gt& 2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~-k+3 &\lt& 9
\\[3pt]~~~-k &\lt& 9-3
\\[3pt]~~~-k &\lt& 6
\\[3pt]~~~k &\gt& -6\end{eqnarray}\)
したがって、\(k \gt 2\) かつ \(k \gt -6\) すなわち \(k \gt 2\) となる
\({\small (2)}~\)
次に、\({\small [\,1\,]}\) が \({\small [\,2\,]}\) に含まれるとき、
\(-k+3{\small ~≦~}5\) かつ \(9{\small ~≦~}k+3\) であればよい
※ ぴったり重なるときも含まれるので、イコールを付ける。
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~-k+3 &{\small ~≦~}& 5
\\[3pt]~~~-k &{\small ~≦~}& 5-3
\\[3pt]~~~-k &{\small ~≦~}& 2
\\[3pt]~~~k &{\small ~≧~}& -2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~9 &{\small ~≦~}& k+3
\\[3pt]~~~k &{\small ~≧~}& 9-3
\\[3pt]~~~k &{\small ~≧~}& 6\end{eqnarray}\)
したがって、\(k{\small ~≧~}-2\) かつ \(k{\small ~≧~}6\) すなわち \(k{\small ~≧~}6\) となる
