- 数学Ⅰ｜集合と論理「補集合とド・モルガンの法則」の基本例題解説ページです。
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問題｜補集合とド・モルガンの法則
高校数学Ⅰ｜集合と論理
解法のPoint
補集合
全体集合 \(U\) の部分集合 \(A\) について、\(A\) に属さない集合を \(\overline{A}\) と補集合という。
集合 \(A\) と補集合 \(\overline{A}\) の共通部分は空集合となる。
\(A \cap \overline{A}=\varnothing\)
集合 \(A\) と補集合 \(\overline{A}\) の和集合は全体集合となる。
\(A \cup \overline{A}=U\)
補集合の補集合は全体もとの集合 \(A\) となる。
\(\overline{\overline{A}}=A\)
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ド・モルガンの法則
全体集合 \(U\) の部分集合 \(A~,~\)\(B\) について、
ド・モルガンの法則
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
※ かつ \(\cap\) の否定がまたは \(\cup\) となる。
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詳しい解説｜補集合とド・モルガンの法則
\(1\) 桁の自然数の全体集合 \(U\) の部分集合 \(A=\{\,2~,~4~,~6~,~8\,\}~,~\)\(B=\{\,1~,~2~,~3~,~6\,\}\) について、\(A\) の補集合 \(\overline{A}~,~\)\(B\) の補集合 \(\overline{B}\)、共通部分 \(\overline{A} \cap B\) と和集合 \(A \cup \overline{B}\) の求め方は？また、集合 \(\overline{A \cup B}~,~\)\(\overline{A \cap B}\) をド・モルガンの法則を用いて求める方法は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
全体集合 \(U\) は、
\(U=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9\,\}\)
これより、全体集合 \(U\) の中に集合 \(A~,~\)\(B\) の要素は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
~U~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & &
\end{array}\)
\(A\) の補集合 \(\overline{A}\) は、\(A\) に属さない集合であるので、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
~\overline{A}~ & ● & & ● & & ● & & ● & & ●
\end{array}\)
これより、
\(\overline{A}=\{\,1~,~3~,~5~,~7~,~9\,\}\)
\(B\) の補集合 \(\overline{B}\) は、\(B\) に属さない集合であるので、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & & \\[3pt]
\hline
~\overline{B}~ & & & & ● & ● & & ● & ● & ●
\end{array}\)
これより、
\(\overline{B}=\{\,4~,~5~,~7~,~8~,~9\,\}\)
共通部分 \(\overline{A} \cap B\) は、
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & & \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cap B~ & ◎ & & ◎ & & & & & &
\end{array}\)
これより、
\(\overline{A} \cap B=\{\,1~,~3\,\}\)
和集合 \(A \cup \overline{B}\) は、
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
\overline{B} & & & & ○ & ○ & & ○ & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
~A \cup \overline{B}~ & & ● & & ● & ● & ● & ● & ● & ●
\end{array}\)
これより、
\(A \cup \overline{B}=\{\,2~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9\,\}\)
集合 \(\overline{A \cup B}\) はド・モルガンの法則より、
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
ここで、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の共通部分 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) は、
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{B} & & & & ○ & ○ & & ○ & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cap \overline{B}~ & & & & & ◎ & & ◎ & & ◎
\end{array}\)
したがって、
\(\overline{A \cup B}=\{\,5~,~7~,~9\,\}\)
集合 \(\overline{A \cap B}\) はド・モルガンの法則より、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
ここで、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は、
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{B} & & & & ○ & ○ & & ○ & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cup \overline{B}~ & ● & & ● & ● & ● & & ● & ● & ●
\end{array}\)
したがって、
\(\overline{A \cap B}=\{\,1~,~3~,~4~,~5~,~7~,~8~,~9\,\}\)
