- 数学Ⅰ｜集合と論理「文字式の要素を含む集合」の基本例題解説ページです。
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問題｜文字式の要素を含む集合
集合と論理 08☆整数全体の全体集合 \(U\) の部分集合 \(A=\{\,a-1~,~a~,~5\,\}~,~\)\(B=\{\,3a+1~,~a^2-3~,~5\,\}\) について、共通部分 \(A \cap B=\{\,1~,~5\,\}\) を満たすとき、定数 \(a\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
解法のPoint
文字式の要素を含む集合
Point：文字式の要素を含む集合
① 共通部分の要素の条件より、文字に当てはまる要素のみで集合を求める。
\(A=\{\,a-1~,~a~,~5\,\}\) かつ
\(A \cap B=\{\,1~,~5\,\}\) より、
\(a-1=1\) または \(a=1\)
② それぞれの \(a\) の値より集合 \(B\) も含め、共通部分の条件を満たすか確認する。
文字式の要素を含む集合は、
① 共通部分の要素の条件より、文字に当てはまる要素のみで集合を求める。
\(A=\{\,a-1~,~a~,~5\,\}\) かつ
\(A \cap B=\{\,1~,~5\,\}\) より、
\(a-1=1\) または \(a=1\)
② それぞれの \(a\) の値より集合 \(B\) も含め、共通部分の条件を満たすか確認する。
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詳しい解説｜文字式の要素を含む集合
集合と論理 08☆
整数全体の全体集合 \(U\) の部分集合 \(A=\{\,a-1~,~a~,~5\,\}~,~\)\(B=\{\,3a+1~,~a^2-3~,~5\,\}\) について、共通部分 \(A \cap B=\{\,1~,~5\,\}\) を満たすとき、定数 \(a\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
\(2\) つの集合 \(A~,~\)\(B\) と共通部分の条件について、
共通部分の要素が \(1~,~5\) より、集合 \(A\) の \(a-1\) または \(a\) のどちらかが \(1\) となる
\({\small [\,1\,]}\) \(a-1=1\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~a-1&=&1\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
これより、集合 \(A\) は、\(A=\{\,1~,~2~,~5\,\}\)
集合 \(B\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~3a+1&=&3 \cdot 2+1=7\\[3pt]~~~a^2-3&=&2^2-3=1\end{eqnarray}\)
集合 \(B=\{\,1~,~5~,~7\,\}\)
よって、共通部分は \(A \cap B=\{\,1~,~5\,\}\) となり条件を満たす
\({\small [\,2\,]}\) \(a=1\) のとき
集合 \(A\) は、
\(a-1=1-1=0\) より、
\(A=\{\,0~,~1~,~5\,\}\)
集合 \(B\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~3a+1&=&3 \cdot 1+1=4\\[3pt]~~~a^2-3&=&1^2-3=-2\end{eqnarray}\)
集合 \(B=\{\,-2~,~4~,~5\,\}\)
このとき、条件を満たさない
したがって、\(a=2\) である
