- 数学Ⅰ｜集合と論理「必要条件と十分条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜必要条件と十分条件
集合と論理 12\(x~,~y\) を実数、\(m~,~n\) を自然数として、「\(x=3\) は \(x^2=9\) であるための○○条件」、「\(2\) つの図形の面積が等しいは、\(2\) つの図形が合同であるための○○条件」、「\(x^2+y^2=0\) は \(x=0\) であるための○○条件」、「\(x^2=y^2\) は \(|\,x\,|=|\,y\,|\) であるための○○条件」、「\(x^2 \gt y^2\) は \(x \gt y\) であるための○○条件」、「\(m~,~n\) がともに偶数は \(m+n\) が偶数であるための○○条件」、「\(mn\) が偶数は \(m~,~n\) がともに偶数であるための○○条件」、「\(m+n\) が偶数は \(mn\) が偶数であるための○○条件」の○○に入る語句の選び方は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
解法のPoint
必要条件と十分条件
Point：必要条件と十分条件
① 命題より、\(2\) つの条件 \(p~,~q\) の図をつくる。
\(p\) は \(q\) であるための○○条件
\(p~\rightleftarrows~q\)
② \(p \rightarrow q\) と \(q \rightarrow p\) の真偽をそれぞれ調べて、必要条件と十分条件を判別する。
\({\small [\,1\,]}\) \(p\)\(\large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\)\(q\) のとき、十分条件
\({\small [\,2\,]}\) \(p\)\(\large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\)\(q\) のとき、必要条件
\({\small [\,3\,]}\) \(p\)\(\large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\)\(q\) のとき、必要十分条件（同値）
必要条件と十分条件の判別は、
① 命題より、\(2\) つの条件 \(p~,~q\) の図をつくる。
\(p\) は \(q\) であるための○○条件
\(p~\rightleftarrows~q\)
② \(p \rightarrow q\) と \(q \rightarrow p\) の真偽をそれぞれ調べて、必要条件と十分条件を判別する。
\({\small [\,1\,]}\) \(p\)\(\large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\)\(q\) のとき、十分条件
\({\small [\,2\,]}\) \(p\)\(\large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\)\(q\) のとき、必要条件
\({\small [\,3\,]}\) \(p\)\(\large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\)\(q\) のとき、必要十分条件（同値）
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詳しい解説｜必要条件と十分条件
集合と論理 12
\(x~,~y\) を実数、\(m~,~n\) を自然数として、「\(x=3\) は \(x^2=9\) であるための○○条件」、「\(2\) つの図形の面積が等しいは、\(2\) つの図形が合同であるための○○条件」、「\(x^2+y^2=0\) は \(x=0\) であるための○○条件」、「\(x^2=y^2\) は \(|\,x\,|=|\,y\,|\) であるための○○条件」、「\(x^2 \gt y^2\) は \(x \gt y\) であるための○○条件」、「\(m~,~n\) がともに偶数は \(m+n\) が偶数であるための○○条件」、「\(mn\) が偶数は \(m~,~n\) がともに偶数であるための○○条件」、「\(m+n\) が偶数は \(mn\) が偶数であるための○○条件」の○○に入る語句の選び方は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
「\(x=3\) は \(x^2=9\) であるための○○条件」
\(x\) を実数として、
\(p\)：\(x=3\) 、\(q\)：\(x^2=9\)とする
\(p \rightarrow q\) の真偽は、
\(x=3\) のとき \(x^2=3^2=9\) より、常に成立するので真
\(q \rightarrow p\) の真偽は、
\(x^2=9\) より \(x=\pm 3\) となり、
\(x=-3\) のとき \(x=3\) とならないので偽
これより、
\(p\)：\(x=3\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x^2=9\)
したがって、十分条件である
「\(2\) つの図形の面積が等しいは、\(2\) つの図形が合同であるための○○条件」
\(p\)：\(2\) つの図形の面積が等しい
\(q\)：\(2\) つの図形が合同であるとする
\(p \rightarrow q\) の真偽は、
面積が等しくても合同でない図形は存在するので偽
\(q \rightarrow p\) の真偽は、
合同であれば面積は常に等しくなるので真
これより、
\(p\)：面積が等しい \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：合同である
したがって、必要条件である
「\(x^2+y^2=0\) は \(x=0\) であるための○○条件」
\(x~,~y\) を実数として、
\(p\)：\(x^2+y^2=0\) 、\(q\)：\(x=0\)とする
\(p \rightarrow q\) の真偽は、
\(x^2+y^2=0\) より \(x=0\) かつ \(y=0\) となるので、常に \(x=0\) が成立するので真
\(q \rightarrow p\) の真偽は、
\(x=0~,~y=1\) のとき \(x^2+y^2=0+1=1 \neq 0\) となるので偽
これより、
\(p\)：\(x^2+y^2=0\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x=0\)
したがって、十分条件である
「\(x^2=y^2\) は \(|\,x\,|=|\,y\,|\) であるための○○条件」
\(x~,~y\) を実数として、
\(p\)：\(x^2=y^2\) 、\(q\)：\(|\,x\,|=|\,y\,|\)とする
ここで、\(x^2=y^2\) を変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&y^2\\[3pt]~~~x^2-y^2&=&0\\[3pt]~~~(x+y)(x-y)&=&0\\[3pt]~~~x&=&\pm y\end{eqnarray}\)
また、\(|\,x\,|=|\,y\,|\) を変形すると \(x=\pm y\) となり、
\(p\) と \(q\) は同じ条件となる
\(p \rightarrow q\) の真偽は、常に成立するので真
\(q \rightarrow p\) の真偽は、常に成立するので真
これより、
\(p\)：\(x^2=y^2\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(|\,x\,|=|\,y\,|\)
したがって、必要十分条件である
「\(x^2 \gt y^2\) は \(x \gt y\) であるための○○条件」
\(x~,~y\) を実数として、
\(p\)：\(x^2 \gt y^2\) 、\(q\)：\(x \gt y\)とする
\(p \rightarrow q\) の真偽は、
\(x=-2~,~y=1\) のとき \(x^2=4 \gt 1=y^2\) だが \(x \lt y\) となるので偽
\(q \rightarrow p\) の真偽は、
\(x=1~,~y=-2\) のとき \(x \gt y\) だが \(x^2=1 \lt 4=y^2\) となるので偽
これより、
\(p\)：\(x^2 \gt y^2\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x \gt y\)
したがって、必要条件でも十分条件でもない
「\(m~,~n\) がともに偶数は \(m+n\) が偶数であるための○○条件」
\(m~,~n\) を自然数として、
\(p\)：\(m~,~n\) がともに偶数、\(q\)：\(m+n\) が偶数とする
\(p \rightarrow q\) の真偽は、
偶数と偶数の和は常に偶数となるので真
\(q \rightarrow p\) の真偽は、
\(m=1~,~n=1\) のとき \(m+n=2\) で偶数だが \(m~,~n\) はともに奇数となるので偽
これより、
\(p\)：ともに偶数 \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(m+n\) が偶数
したがって、十分条件である
「\(mn\) が偶数は \(m~,~n\) がともに偶数であるための○○条件」
\(m~,~n\) を自然数として、
\(p\)：\(mn\) が偶数、\(q\)：\(m~,~n\) がともに偶数とする
\(p \rightarrow q\) の真偽は、
\(m=2~,~n=3\) のとき \(mn=6\) で偶数だが \(n\) は奇数となるので偽
\(q \rightarrow p\) の真偽は、
偶数と偶数の積は常に偶数となるので真
これより、
\(p\)：\(mn\) が偶数 \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：ともに偶数
したがって、必要条件である
「\(m+n\) が偶数は \(mn\) が偶数であるための○○条件」
\(m~,~n\) を自然数として、
\(p\)：\(m+n\) が偶数、\(q\)：\(mn\) が偶数とする
\(p \rightarrow q\) の真偽は、
\(m=1~,~n=1\) のとき \(m+n=2\) で偶数だが \(mn=1\) で奇数となるので偽
\(q \rightarrow p\) の真偽は、
\(m=2~,~n=1\) のとき \(mn=2\) で偶数だが \(m+n=3\) で奇数となるので偽
これより、
\(p\)：\(m+n\) が偶数 \(\Large ~\underset{×}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(mn\) が偶数
したがって、必要条件でも十分条件でもない
