- 数学Ⅰ｜集合と論理「対偶法を用いた証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜対偶法を用いた証明
集合と論理 16\(n\) を整数として、「\(n^2\) が偶数ならば、\(n\) は偶数である」の証明方法は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
解法のPoint
対偶法を用いた証明
Point：対偶法を用いた証明
① 命題の対偶をつくる。
命題 \(p \Rightarrow q\) → 対偶 \(\overline{\,q\,} \Rightarrow \overline{\,p\,}\)
② 対偶を文字式を利用して証明する。
整数 \(k\) を用いて、
偶数→\(2k\) 奇数→\(2k+1\) \(3\) の倍数→\(3k\)
③ 対偶が真であることより、もとの命題が成り立つことを証明できる。
対偶法を用いた証明の手順は、
① 命題の対偶をつくる。
命題 \(p \Rightarrow q\) → 対偶 \(\overline{\,q\,} \Rightarrow \overline{\,p\,}\)
② 対偶を文字式を利用して証明する。
整数 \(k\) を用いて、
偶数→\(2k\) 奇数→\(2k+1\) \(3\) の倍数→\(3k\)
③ 対偶が真であることより、もとの命題が成り立つことを証明できる。
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詳しい解説｜対偶法を用いた証明
集合と論理 16
\(n\) を整数として、「\(n^2\) が偶数ならば、\(n\) は偶数である」の証明方法は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
命題「\(n^2\) が偶数ならば、\(n\) は偶数」の対偶は、
「\(n\) が奇数ならば \(n^2\) は奇数である」
[証明] \(n\) が奇数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k+1\) と表せる
よって、\(n^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&2(2k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(2k^2+2k\) は整数であり、\(n^2\) は奇数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2\) が偶数ならば、\(n\) は偶数である [終]
