- 数学Ⅰ｜集合と論理「背理法を用いた証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜背理法を用いた証明
集合と論理 17\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いて「\(2+\sqrt{2}\) は無理数である」を証明する方法は？また、\(n\) を整数として、\(n^2\) が偶数ならば、\(n\) は偶数であるを用いて「\(\sqrt{2}\) が無理数である」を証明する方法は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
解法のPoint
背理法を用いた証明
Point：背理法を用いた証明
① 命題が成り立たないと仮定する。
命題「\(\sqrt{2}\) が無理数である」
→「\(\sqrt{2}\) が有理数である」と仮定。
② この仮定より、矛盾が生じることを示す。
有理数であることは、
・有理数 \(r\) で表す
または
・\(1\) 以外に互いに公約数をもたない
\(2\) つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\)
③ 矛盾が生じたのは仮定が成り立たないからであり、命題が成り立つ。
背理法を用いた証明の手順は、
① 命題が成り立たないと仮定する。
命題「\(\sqrt{2}\) が無理数である」
→「\(\sqrt{2}\) が有理数である」と仮定。
② この仮定より、矛盾が生じることを示す。
有理数であることは、
・有理数 \(r\) で表す
または
・\(1\) 以外に互いに公約数をもたない
\(2\) つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\)
③ 矛盾が生じたのは仮定が成り立たないからであり、命題が成り立つ。
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詳しい解説｜背理法を用いた証明
集合と論理 17
\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いて「\(2+\sqrt{2}\) は無理数である」を証明する方法は？また、\(n\) を整数として、\(n^2\) が偶数ならば、\(n\) は偶数であるを用いて「\(\sqrt{2}\) が無理数である」を証明する方法は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
[証明] 「\(2+\sqrt{2}\) は無理数でない」と仮定すると、
\(2+\sqrt{2}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~2+\sqrt{2}&=&r\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&r-2\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数のとき、\(r-2\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(2+\sqrt{2}\) は有理数でないので、
\(2+\sqrt{2}\) は無理数である [終]
[証明] 「\(\sqrt{2}\) が無理数でない」と仮定すると、
\(\sqrt{2}\) は有理数であるので、\(1\) 以外に互いに公約数をもたない \(2\) つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{2}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\sqrt{2}\,b\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&2b^2\end{eqnarray}\)
\(a^2\) は偶数であるので、\(a\) も偶数である
また、\(a=2c\)（ \(c\) は整数 ）とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2c)^2&=&2b^2\\[3pt]~~~4c^2&=&2b^2\\[3pt]~~~b^2&=&2c^2\end{eqnarray}\)
\(b^2\) は偶数であるので、\(b\) も偶数である
\(a\) と \(b\) はともに偶数で公約数 \(2\) をもつが、これは \(a\) と \(b\) が \(1\) 以外に公約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{2}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{2}\) は無理数である [終]
