- 数学Ⅰ｜集合と論理「有理数と無理数の性質の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜有理数と無理数の性質の証明
集合と論理 18☆\(a~,~b\) が有理数のとき、\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いて、命題「\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\)」を証明する方法は？また、\(a+b\sqrt{2}=3-5\sqrt{2}\) のときの \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
解法のPoint
有理数と無理数の性質の証明
Point：有理数と無理数の性質の証明
\(a+b\sqrt{c}=0\) ならば \(a=b=0\)
① \(b \neq 0\) と仮定し、矛盾が生じることを示す。
② \(b=0\) となり、\(a=0\) を示す。
\(a~,~b~,~c\) は有理数、\(\sqrt{c}\) は無理数のとき、
\(a+b\sqrt{c}=0\) ならば \(a=b=0\)
証明は、背理法を用いて、
① \(b \neq 0\) と仮定し、矛盾が生じることを示す。
② \(b=0\) となり、\(a=0\) を示す。
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詳しい解説｜有理数と無理数の性質の証明
集合と論理 18☆
\(a~,~b\) が有理数のとき、\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いて、命題「\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\)」を証明する方法は？また、\(a+b\sqrt{2}=3-5\sqrt{2}\) のときの \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜集合と論理
[証明] \(b \neq 0\) と仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~b\sqrt{2}&=&-a\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
\(a~,~b\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(b=0\) が成り立つ
また、\(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~a&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a~,~b\) が有理数のとき、
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) [終]
\(a+b\sqrt{2}=3-5\sqrt{2}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&3-5\sqrt{2}
\\[3pt]~~~a+b\sqrt{2}-3+5\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~(a-3)+(b+5)\sqrt{2}&=&0\end{eqnarray}\)
上の性質より、
\(a-3=0\) かつ \(b+5=0\)
したがって、\(a=3~,~b=-5\)
