1次関数のグラフ・値域・最大値と最小値

関数 \(y=x-1\) について、\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) より、

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　\(x=-1\) のとき、

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　　\(y=-1-1=-2\)

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　\(x=2\) のとき、

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　　\(y=2-1=1\)

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よって、傾きが \(1 \gt 0\) より、右上がりのグラフで、\(y\) 切片が \(-1\) であるので、

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したがって、値域は、\(-2{\small ~≦~}y{\small ~≦~}1\)

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　\(x=2\) のとき最大値 \(1\)

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　\(x=-1\) のとき最小値 \(-2\) である

 
 

また、定義域が \(-1 \lt x \lt 2\) のとき、

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グラフは、

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値域は \(-2 \lt y \lt 1\) であるが、最大値、最小値はない

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関数 \(y=ax+b\) で \(a \lt 0\) より、グラフは右下がりとなる

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定義域が \(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) のとき値域が \(-5{\small ~≦~}y{\small ~≦~}-1\) であるので、

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これより、

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　\(x=1\) のとき \(y=-1\) であり、

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　\(\begin{eqnarray}~~~-1&=&a \cdot 1+b\\[3pt]~~~a+b&=&-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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　\(x=3\) のとき \(y=-5\) であり、

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　\(\begin{eqnarray}~~~-5&=&a \cdot 3+b\\[3pt]~~~3a+b&=&-5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~3a+b&=&-5\\~~-\big{)}~~~~a+b&=&-1\\\hline 2a&=&-4\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)

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これを、\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~-2+b&=&-1\\[3pt]~~~b&=&-1+2\\[3pt]~~~b&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=-2~,~b=1\) となる