- 数学Ⅰ「２次関数」の基本例題一覧ページです。
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関数の基本
01｜関数の値と関数の表し方
２次関数 01関数 \(f(x)=3x-2\) について、\(f(0)~,~\)\(f(1)~,~\)\(f(-2)~,~\)\(f(a)~,~\)\(f(-a)~,~\)\(f(a+1)\) の値の求め方は？また、底辺が \(6~{\rm cm}\)、高さが \(x~{\rm cm}\) の三角形の面積を \(y~{\rm cm}^2\) とするとき、\(y\) を \(x\) で表す方法は？
02｜座標平面上の象限と点の移動
２次関数 02点 \((1~,~2)\)、点 \((-3~,~1)\)、点 \((-2~,~-3)\)、点 \((-4~,~3)\) はそれぞれ第何象限の点であるか？また、点 \((1~,~2)\) を \(x\) 軸方向に \(+3\)、\(y\) 軸方向に \(-1\) だけ移動した点の座標の求め方は？さらに、\(x\) 軸対称、\(y\) 軸対称、原点対称移動した点の座標の求め方は？
03｜1次関数のグラフ・値域・最大値と最小値
２次関数 03関数 \(y=x-1~~(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2)\) のグラフ、値域、最大値と最小値の求め方は？また、定義域が \(-1 \lt x \lt 2\) のときでは？さらに、定数 \(a\) を負とする関数 \(y=ax+b~~(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)\) の値域が \(-5{\small ~≦~}y{\small ~≦~}-1\) のとき、定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
2次関数のグラフ
04｜2次関数y=ax²のグラフ
２次関数 042次関数 \(y=2x^2\)、\(y=-3x^2\) のグラフの描き方は？また、放物線は上に凸or下に凸のどちらであるか？さらに、\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) での最大値・最小値は？
05｜2次関数y=a(x-p)²+qのグラフ
２次関数 052次関数 \(y=2x^2-1~,~\)\(y=-3x^2+2~,~\)\(y=2(x-3)^2~,~\)\(y=-3(x+1)^2~,~\)\(y=2(x-3)^2-1~,~\)\(y=-3(x+1)^2+2\) のグラフの描き方は？また、軸と頂点の求め方は？
06｜平方完成とy=ax²+bx+cのグラフ
２次関数 062次関数 \(y=x^2-4x-2~,~\)\(y=3x^2+12x+5~,~\)\(y=-x^2-2x+3\) のグラフの描き方は？また、軸と頂点の求め方は？
2次関数のグラフの移動
07｜2つの放物線が重なる条件
２次関数 07放物線 \(y=x^2-2x+2\) のグラフはどのように平行移動すると \(y=x^2-6x+8\) と重なるかの求め方は？
08｜放物線の平行移動
２次関数 08放物線 \(y=x^2-4x-2\) を \(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動した放物線の方程式の求め方は？
09｜放物線のx軸・y軸・原点対称移動
２次関数 09放物線 \(y=x^2-4x-2\) を \(x\) 軸、\(y\) 軸、原点に関して、それぞれ対称移動した放物線の方程式の求め方は？
10☆｜平行移動前の放物線
２次関数 10☆ある放物線を \(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動すると \(y=x^2-2x+1\) となったとき、もとの放物線の方程式の求め方は？
11☆｜直線に関して対称移動した放物線
２次関数 11☆放物線 \(y=x^2-2x+4\) を直線 \(y=1\) に関して対称移動した放物線の方程式の求め方は？
2次関数の最大値・最小値
12｜2次関数の最大値・最小値(定義域なし)
２次関数 122次関数 \(y=x^2-4x-2~,~\)\(y=-x^2-2x+3\) の最大値・最小値の求め方は？
13｜定義域のある2次関数の最大値・最小値
２次関数 132次関数 \(y=x^2-4x-2~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)~,~\)\(y=-x^2-2x+3~(-3 \lt x \lt 0)\) の値域と最大値・最小値の求め方は？
14｜定義域の片側が動く2次関数の最大値・最小値
２次関数 14\(a \gt 0\) のとき、関数 \(y=x^2-2x+1~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a)\) の最大値・最小値の求め方は？
15｜軸が動く2次関数の最大値・最小値
２次関数 15\(a\) を定数として、関数 \(y=x^2-2ax~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2)\) の最大値・最小値の求め方は？
16☆｜定義域の両端が動く2次関数の最大値・最小値
２次関数 16☆\(a\) を定数として、関数 \(y=x^2-2x+1~(a{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a+2)\) の最大値・最小値の求め方は？
17｜2次関数の最大値・最小値の文章問題
２次関数 17\(1\) 辺が \(20~{\rm cm}\) の正方形 \({\rm ABCD}\) 上を点 \({\rm P}\) は \({\rm A}\) → \({\rm B}\) に毎秒 \(1~{\rm cm}\) で、点 \({\rm Q}\) は \({\rm B}\) → \({\rm C}\) を毎秒 \(2~{\rm cm}\) で動くとき、線分 \({\rm PQ}\) の長さが最小となるのは何秒後か？また、物体を毎秒 \(20~{\rm m}\) で真上に投げ、\(x\) 秒後の高さ \(y\) \({\rm m}\) が \(y=-5x^2+20x\) で表されるとき、物体が最高点に達するときは何秒後で高さが何 \({\rm m}\) か？また、再び地面に戻ってくるときは何秒後？
18☆｜2次関数の最小値の最大・最小
２次関数 18☆\(x\) の2次関数 \(y=x^2+2ax-4a+1\) の最小値 \(m\) を \(a\) の式で表す方法は？また、\(m\) の最大値とそのときの \(a\) の値の求め方は？
2次関数の決定
19｜頂点や軸の条件と2次関数の決定
２次関数 19頂点が \((3~,~-1)\) で点 \((2~,~1)\) を通る条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数の求め方は？また、軸が \(x=-1\) で \(2\) 点 \((0~,~-1)~,~(-3~,~-10)\) を通る条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数の求め方は？
20｜3点を通る2次関数の決定
２次関数 20グラフが \(3\) 点 \((1~,~0)~,~(2~,~-5)~,~(-1~,~4)\) を通る2次関数の求め方は？
21☆｜定義域ありの最大値・最小値と2次関数の決定
２次関数 21☆関数 \(y=x^2-4x+c\) \((1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4)\) の最大値が \(-2\) のとき、定数 \(c\) の値の求め方は？また、\(a \gt 0\) として、関数 \(y=ax^2-2ax+b\) の定義域が \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) で値域が \(-1{\small ~≦~}y{\small ~≦~}7\) となるとき、定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
22☆｜定義域なしの最大値・最小値と2次関数の決定
２次関数 22☆2次関数が \(x=-1\) のとき最大値 \(4\) をとり、\(x=1\) のとき \(y=0\) となるとき、この2次関数の求め方は？また、2次関数 \(y=ax^2-2ax+a^2\) の最大値が \(2\) のときの定数 \(a\) の値の求め方は？さらに、最小値が \(6\) のときの定数 \(a\) の値の求め方は？
23☆｜軸が動く2次関数の決定
２次関数 23☆関数 \(y=x^2-2ax~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2)\) の最小値が \(-1\) となるような定数 \(a\) の値の求め方は？
24☆｜平行移動後の2次関数の決定
２次関数 24☆放物線 \(y=3x^2-4x-2\) を平行移動した放物線で点 \((1~,~-1)~,~(2~,~3)\) を通るグラフをもつ2次関数の求め方は？また、放物線 \(y=2x^2\) を平行移動したもので、点 \((1~,~-4)\) を通り、頂点が \(y=-3x\) 上にあるグラフをもつ2次関数の求め方は？
2次方程式の実数解
25｜2次方程式の実数解と解の公式
２次関数 252次方程式 \(x^2+2x-3=0~,~\)\(2x^2+5x-3=0~,~\)\(x^2-3x+1=0~,~\)\(3x^2+2x-2=0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2-3x-12=0~,~\)\(2x^2-5\sqrt{3}\,x+6=0\) の解の求め方は？
26☆｜解が与えられた2次方程式
２次関数 26☆2次方程式 \(x^2-4x+m=0\) の \(1\) つの解が \(2-\sqrt{3}\) のとき、定数 \(m\) の値と他の解の求め方は？
27｜2次方程式の実数解の個数
２次関数 272次方程式 \(x^2-5x+14=0~,~\)\(4x^2-4x+1=0~,~\)\(x^2-3x+1=0\) の実数解の個数の求め方は？
28｜2次方程式の実数解の条件
２次関数 282次方程式 \(x^2-4x+m=0\) が異なる2つの実数解をもつような定数 \(m\) の範囲の求め方は？また、実数解をもつような定数 \(m\) の範囲の求め方は？さらに、2次方程式 \(x^2+mx+m+3=0\) が重解をもつような定数 \(m\) の値の求め方は？また、そのときの重解の求め方は？
2次方程式と2次関数
29｜2次関数とx軸の共有点の座標
２次関数 292次関数 \(y=x^2-3x+1~,~\)\(y=4x^2-4x+1\) のグラフと \(x\) 軸との共有点の座標の求め方は？
30｜2次関数とx軸の共有点の個数
２次関数 302次関数 \(y=x^2-3x+1~,~\)\(y=4x^2-4x+1~,~\)\(y=x^2-2x+3\) のグラフと \(x\) 軸との共有点の個数の求め方は？
31｜2次関数とx軸の共有点の条件
２次関数 312次関数 \(y=x^2-4x+m\) のグラフと \(x\) 軸との共有点の個数は、定数 \(m\) の値によってどのように変わるか？
32☆｜x軸と2点で交わる2次関数の決定
２次関数 32☆\(x\) 軸と \(2\) 点 \((1~,~0)~,~(-2~,~0)\) で交わり、点 \((-1~,~-4)\) を通る2次関数の求め方は？
33☆｜放物線がx軸と接する条件
２次関数 33☆放物線 \(y=x^2+mx+m+3\) のグラフが \(x\) 軸と接するような定数 \(m\) の値の求め方は？また、そのとき接点の座標の求め方は？
34☆｜放物線がx軸を切り取る線分の長さ
２次関数 34☆放物線 \(y=x^2-3x+1\) が \(x\) 軸から切り取る線分の長さの求め方は？
35☆｜2次関数y=ax²+bx+cのグラフと係数の正負
２次関数 35☆2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフは、上に凸のグラフで \(x\) 軸の正の部分で2点で交わり、\(x=1\) のとき \(y \gt 0\) であるとき、\(a~,~b~,~c~,~b^2-4ac~,~a+b+c\) の符号の調べ方は？
36☆｜放物線と直線の共有点の座標
２次関数 36☆放物線 \(y=x^2+x+1\)、直線 \(y=2x+3\) の共有点の座標の求め方は？また、放物線 \(y=-x^2+3x-3\)、直線 \(y=-x+1\) の共有点の座標の求め方は？
37☆｜放物線と直線の共有点の個数
２次関数 37☆放物線 \(y=x^2-2x\)、直線 \(y=2x-m\) の共有点の個数は、定数 \(m\) の値によってどのように変わるか？
2次不等式の解
38｜1次関数のグラフと1次不等式の解
２次関数 38グラフを利用して1次不等式 \(2x-6 \gt 0~,~\)\(-x+2{\small ~≦~}0\) の解の求め方は？
39｜x軸と2点で交わる2次不等式の解
２次関数 392次不等式 \(x^2+x-2 \gt 0~,~\)\(x^2-5x{\small ~≦~}0~,~\)\(2x^2+x-1 \lt 0~,~\)\(x^2-3x+1{\small ~≧~}0~,~\)\(-x^2+2x+1 \gt 0~,~\)\(-2x^2+5\sqrt{3}\,x-6{\small ~≦~}0\) の解の求め方は？
40｜x軸と接する2次不等式の解
２次関数 402次不等式 \(x^2-6x+9 \gt 0~,~\)\(x^2-6x+9{\small ~≧~}0~,~\)\(x^2-6x+9 \lt 0~,~\)\(x^2-6x+9{\small ~≦~}0\) の解の求め方は？
41｜x軸と交わらない2次不等式の解
２次関数 412次不等式 \(x^2-2x+3 \gt 0~,~\)\(x^2-2x+3{\small ~≧~}0~,~\)\(x^2-2x+3 \lt 0~,~\)\(x^2-2x+3{\small ~≦~}0\) の解の求め方は？
42☆｜解が与えられた2次不等式
２次関数 42☆2次不等式 \(ax^2-4x+c \gt 0\) の解が \(-3 \lt x \lt 1\) のとき、定数 \(a~,~c\) の値の求め方は？
43｜2次方程式が実数解の条件と2次不等式
２次関数 432次方程式 \(x^2+mx+m+3=0\) が実数解をもつような定数 \(m\) の範囲の求め方は？
44｜常に成り立つ2次不等式
２次関数 442次不等式 \(x^2+mx+m+3 \gt 0\) の解がすべての実数であるとき、定数 \(m\) の範囲の求め方は？
また、2次関数 \(y=x^2-mx-m+1\) において、\(y\) の値が常に正であるような定数 \(m\) の範囲の求め方は？
また、2次関数 \(y=x^2-mx-m+1\) において、\(y\) の値が常に正であるような定数 \(m\) の範囲の求め方は？
45☆｜x²の係数が文字の常に成り立つ2次不等式
２次関数 45☆2次不等式 \(mx^2-2x+m \gt 0\) の解がすべての実数のとき、定数 \(m\) の値の範囲の求め方は？
また、関数 \(y=mx^2-2x+m\) において、\(y\) の値が常に負であるとき、定数 \(m\) の値の範囲の求め方は？
また、関数 \(y=mx^2-2x+m\) において、\(y\) の値が常に負であるとき、定数 \(m\) の値の範囲の求め方は？
46☆｜範囲内で常に成り立つ2次不等式
２次関数 46☆関数 \(y=x^2-2x+m^2-4m\) が \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) の範囲で常に負であるとき、定数 \(m\) の範囲の求め方は？
47☆｜文字係数の2次不等式の解
２次関数 47☆\(a\) を定数として、\(x\) の2次不等式 \(x^2-ax \lt 0\) の解の求め方は？
また、不等式を満たす整数 \(x\) が \(2\) 個のときの \(a\) の値の範囲の求め方は？
また、不等式を満たす整数 \(x\) が \(2\) 個のときの \(a\) の値の範囲の求め方は？
連立2次不等式
48｜連立2次不等式の解
２次関数 48連立不等式 \(\left\{~\begin{array}{l}x^2-3x-4 \lt 0\\x^2+x-2{\small ~≧~}0\end{array}\right.\) の解の求め方は？また、不等式 \(2x+3 \lt x^2{\small ~≦~}x+12\) の解の求め方は？
49｜連立2次不等式の文章問題
２次関数 49物体を毎秒 \(40~{\rm m}\) で真上に投げ、\(x\) 秒後の高さ \(y~{\rm m}\) が \(y=-5x^2+40x\) で表されるとき、物体の高さが \(35~{\rm m}\) 以上 \(75~{\rm m}\) 以下となるのは投げてから何秒後から何秒後までか？
50☆｜2つの2次方程式の解の条件と2次不等式
２次関数 50☆\(m \neq 0\) として、\(2\) つの2次方程式 \(x^2+mx+m+3=0~,~\)\(mx^2-6x+m=0\) がともに実数解をもつ or 少なくとも一方が実数解をもつ or 一方だけが実数解をもつとき、定数 \(m\) の範囲の求め方は？
51｜2次関数とx軸との交点の位置
２次関数 512次関数 \(y=x^2-2mx-m+6\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、定数 \(m\) の範囲の求め方は？また、2次方程式 \(x^2-2mx-m+6=0\) が異なる \(2\) つの負の解をもつ、または、正の解と負の解を \(1\) つずつもつとき、定数 \(m\) の範囲の求め方は？
2次関数の応用問題
52☆｜絶対値を含む関数のグラフ
２次関数 52☆関数 \(y=|\,x-2\,|~,~\)\(y=|\,x^2+2x-3\,|~,~\)\(y=x^2-4|\,x\,|+3~,~\)\(y=|\,x\,|+|\,x-1\,|\) のグラフの描き方は？
53★｜2つの放物線の共有点の座標
２次関数 53★\(2\) つの放物線 \(y=x^2-1\) と \(y=-x^2-4x+5\) の共有点の座標の求め方は？また、\(y=2x^2-3x+4\) と \(y=x^2+x\) の共有点の座標の求め方は？
54★｜2つの2次方程式の共通解
２次関数 54★\(2\) つの2次方程式 \(x^2-2x-k=0~,~\)\(2x^2-7x+k=0\) が共通解をもつとき、定数 \(k\) の値とその共通解の求め方は？
55★｜x²+y²の最大値・最小値
２次関数 55★実数 \(x~,~y\) が \(x+y=2\) を満たしながら変化するとき、\(x^2+y^2\) の最小値の求め方は？
