- 数学Ⅰ｜２次関数「頂点や軸の条件と2次関数の決定」の基本例題解説ページです。
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問題｜頂点や軸の条件と2次関数の決定
２次関数 19頂点が \((3~,~-1)\) で点 \((2~,~1)\) を通る条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数の求め方は？また、軸が \(x=-1\) で \(2\) 点 \((0~,~-1)~,~(-3~,~-10)\) を通る条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
頂点や軸の条件と2次関数の決定
Point：頂点や軸の条件と2次関数の決定
① 頂点や軸の条件から2次関数の式を立てる。
頂点 \((p~,~q)\)、軸 \(x=p\) より、
\(y=a(x-p)^2+q\)
② 通る点の条件を代入し、未知数を求める。
③ 求めた値を再代入して、2次関数を求める。
頂点や軸の条件の2次関数は、
① 頂点や軸の条件から2次関数の式を立てる。
頂点 \((p~,~q)\)、軸 \(x=p\) より、
\(y=a(x-p)^2+q\)
② 通る点の条件を代入し、未知数を求める。
③ 求めた値を再代入して、2次関数を求める。
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詳しい解説｜頂点や軸の条件と2次関数の決定
２次関数 19
頂点が \((3~,~-1)\) で点 \((2~,~1)\) を通る条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数の求め方は？また、軸が \(x=-1\) で \(2\) 点 \((0~,~-1)~,~(-3~,~-10)\) を通る条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
頂点 \((3~,~-1)\) であるので、この2次関数は、
\(y=a(x-3)^2-1\)
このグラフが点 \((2~,~1)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&a(2-3)^2-1\\[3pt]~~~1&=&a \cdot (-1)^2-1\\[3pt]~~~1&=&a-1\\[3pt]~~~-a&=&-2\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、求める2次関数は、
\(y=2(x-3)^2-1\)
軸が直線 \(x=-1\) であるので、この2次関数は、
\(y=a(x+1)^2+q\)
グラフが点 \((0~,~-1)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-1&=&a(0+1)^2+q\\[3pt]~~~-1&=&a \cdot 1^2+q\\[3pt]~~~-1&=&a+q\\[3pt]~~~a+q&=&-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、グラフが点 \((-3~,~-10)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-10&=&a(-3+1)^2+q\\[3pt]~~~-10&=&a \cdot (-2)^2+q\\[3pt]~~~-10&=&4a+q\\[3pt]~~~4a+q&=&-10~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~4a+q&=&-10\\~~-\big{)}~~~a+q&=&-1\\\hline 3a&=&-9\\[3pt]~~~a&=&-3\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-3+q&=&-1\\[3pt]~~~q&=&-1+3\\[3pt]~~~q&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、求める2次関数は、
\(y=-3(x+1)^2+2\)
