定義域なしの最大値・最小値と2次関数の決定

定義域のない2次関数が \(x=-1\) のとき最大値 \(4\) をとるので、

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このように頂点が \((-1~,~4)\) 、上に凸のグラフとなり、\(a \lt 0\) として、

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　\(y=a(x+1)^2+4\)

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\(x=1\) のとき \(y=0\) となるので代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~0&=&a(1+1)^2+4\\[3pt]~~~0&=&a \cdot 2^2+4\\[3pt]~~~0&=&4a+4\\[3pt]~~~-4a&=&4\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)

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したがって、求める2次関数は、

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　\(y=-(x+1)^2+4\)

 
 

2次関数 \(y=ax^2-2ax+a^2\) を平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a(x^2-2x)+a^2\\[3pt]~~~&=&a(x^2-2x+1-1)+a^2\\[3pt]~~~&=&a(x^2-2x+1)+a \cdot (-1)+a^2\\[3pt]~~~&=&a(x-1)^2+a^2-a\end{eqnarray}\)

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最大値が \(2\) となるとき、

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定義域がないので、上に凸のグラフであり、頂点が最大値となる

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よって、\(a \lt 0\) であり、\(a^2-a=2\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a^2-a&=&2\\[3pt]~~~a^2-a-2&=&0\\[3pt]~~~(a-2)(a+1)&=&0\\[3pt]~~~a&=&2~,~-1\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a \lt 0\) であるので、

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　\(a=-1\) となる

 
 

また、最小値が \(6\) となるとき、

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定義域がないので、下に凸のグラフであり、頂点が最小値となる

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よって、\(a \gt 0\) であり、\(a^2-a=6\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a^2-a&=&6\\[3pt]~~~a^2-a-6&=&0\\[3pt]~~~(a-3)(a+2)&=&0\\[3pt]~~~a&=&3~,~-2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a \gt 0\) であるので、

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　\(a=3\) となる