- 数学Ⅰ｜２次関数「x²の係数が文字の常に成り立つ2次不等式」の基本例題解説ページです。
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問題｜x²の係数が文字の常に成り立つ2次不等式
２次関数 45☆2次不等式 \(mx^2-2x+m \gt 0\) の解がすべての実数のとき、定数 \(m\) の値の範囲の求め方は？
また、関数 \(y=mx^2-2x+m\) において、\(y\) の値が常に負であるとき、定数 \(m\) の値の範囲の求め方は？
また、関数 \(y=mx^2-2x+m\) において、\(y\) の値が常に負であるとき、定数 \(m\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
x²の係数が文字の常に成り立つ2次不等式
Point：x²の係数が文字の常に成り立つ2次不等式
\(mx^2-2x+m \gt 0\) の解がすべての実数
↓
2次関数 \(y=mx^2-2x+m\) が常に正となり、下に凸 かつ \(x\) 軸と交わらない。
↓
\(m \gt 0\) かつ 2次方程式 \(mx^2-2x+m=0\) が実数解をもたない。
↓
\(m \gt 0\) かつ 判別式 \(D \lt 0\)
x²の係数が文字の常に成り立つ2次不等式は、
\(mx^2-2x+m \gt 0\) の解がすべての実数
↓
2次関数 \(y=mx^2-2x+m\) が常に正となり、下に凸 かつ \(x\) 軸と交わらない。
↓
\(m \gt 0\) かつ 2次方程式 \(mx^2-2x+m=0\) が実数解をもたない。
↓
\(m \gt 0\) かつ 判別式 \(D \lt 0\)
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詳しい解説｜x²の係数が文字の常に成り立つ2次不等式
２次関数 45☆
2次不等式 \(mx^2-2x+m \gt 0\) の解がすべての実数のとき、定数 \(m\) の値の範囲の求め方は？
また、関数 \(y=mx^2-2x+m\) において、\(y\) の値が常に負であるとき、定数 \(m\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
2次不等式 \(mx^2-2x+m \gt 0\) の解がすべての実数のとき、2次関数 \(y=mx^2-2x+m\) は、下に凸で \(x\) 軸と交わらない
これより、\(m \gt 0\) かつ 2次方程式 \(mx^2-2x+m=0\) が実数解をもたない
よって、\(mx^2+2 \cdot (-1)x+m\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,} \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-1)^2-m \cdot m&\lt&0\\[5pt]~~~1-m^2&\lt&0\\[3pt]~~~m^2-1&\gt&0\\[3pt]~~~(m+1)(m-1)&\gt&0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(m+1)(m-1)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの不等式の解となるので、
\(m \lt -1~,~1 \lt m\)
したがって、\(m \gt 0\) の条件より、解は \(m \gt 1\) となる
関数 \(y=mx^2-2x+m\) の \(y\) の値が常に負であるとき、上に凸で \(x\) 軸と交わらない
これより、\(m \lt 0\) かつ 2次方程式 \(mx^2-2x+m=0\) が実数解をもたない
よって、\(mx^2+2 \cdot (-1)x+m\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,} \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-1)^2-m \cdot m&\lt&0\\[5pt]~~~1-m^2&\lt&0\\[3pt]~~~m^2-1&\gt&0\\[3pt]~~~(m+1)(m-1)&\gt&0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(m+1)(m-1)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの不等式の解となるので、
\(m \lt -1~,~1 \lt m\)
したがって、\(m \lt 0\) の条件より、解は \(m \lt -1\) となる
