2つの2次方程式の解の条件と2次不等式

2次方程式 \(x^2+mx+m+3=0\) の判別式 \(D_1\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&m^2-4 \cdot 1 \cdot (m+3)\\[3pt]~~~&=&m^2-4m-12\end{eqnarray}\)

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2次方程式 \(mx^2-6x+m=0\) の判別式 \(D_2\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&(-6)^2-4 \cdot m \cdot m\\[3pt]~~~&=&36-4m^2\end{eqnarray}\)

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ともに実数解をもつ条件は、

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　\(D_1{\small ~≧~}0\) かつ \(D_2{\small ~≧~}0\)

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これより、

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\(\begin{eqnarray}~~~D_1=m^2-4m-12 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~(m-6)(m+2) &{\small ~≧~}& 0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(m-6)(m+2)\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、

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　\(m{\small ~≦~}-2~,~6{\small ~≦~}m~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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また、

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\(\begin{eqnarray}~~~D_2=36-4m^2 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~-4(m^2-9) &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~m^2-9 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~(m+3)(m-3) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(m+3)(m-3)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、

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　\(-3{\small ~≦~}m{\small ~≦~}3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の共通範囲より、

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したがって、\(-3{\small ~≦~}m{\small ~≦~}-2\) となる

 
 

少なくとも一方が実数解をもつ条件は、

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　\(D_1{\small ~≧~}0\) または \(D_2{\small ~≧~}0\)

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これより、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の和集合より、

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したがって、\(m{\small ~≦~}3~,~6{\small ~≦~}m\) となる

 
 

一方だけが実数解をもつ条件は、

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\(D_1{\small ~≧~}0\) と \(D_2{\small ~≧~}0\) のどちらか一方だけが成り立つので、

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\({\small [\,1\,]}\) または \({\small [\,2\,]}\) の一方だけの範囲より、

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したがって、\(m \lt -3~,~-2 \lt m{\small ~≦~}3~,~6{\small ~≦~}m\) となる

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