- 数学Ⅰ｜２次関数「絶対値を含む関数のグラフ」の基本例題解説ページです。
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問題｜絶対値を含む関数のグラフ
２次関数 52☆関数 \(y=|\,x-2\,|~,~\)\(y=|\,x^2+2x-3\,|~,~\)\(y=x^2-4|\,x\,|+3~,~\)\(y=|\,x\,|+|\,x-1\,|\) のグラフの描き方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
絶対値を含む関数のグラフ
Point：絶対値を含む関数のグラフ
\(y=|\,x-2\,|\)
① 絶対値の中が正 or 負で場合分けをし、それぞれの場合で絶対値を外す。
\(x-2{\small ~≧~}0\) のとき、\(y=x-2\)
\(x-2 \lt 0\) のとき、\(y=-x+2\)
② それぞれの範囲でのグラフを描く。
絶対値を含む関数のグラフは、
\(y=|\,x-2\,|\)
① 絶対値の中が正 or 負で場合分けをし、それぞれの場合で絶対値を外す。
\(x-2{\small ~≧~}0\) のとき、\(y=x-2\)
\(x-2 \lt 0\) のとき、\(y=-x+2\)
② それぞれの範囲でのグラフを描く。
※ 関数全体に絶対値が付いている場合
\(y=|\,x-2\,|\) などは、直線 \(y=x-2\) のグラフの \(x\) 軸より下側の部分を、\(x\) 軸対称移動したグラフとなる。
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詳しい解説｜絶対値を含む関数のグラフ
２次関数 52☆
関数 \(y=|\,x-2\,|~,~\)\(y=|\,x^2+2x-3\,|~,~\)\(y=x^2-4|\,x\,|+3~,~\)\(y=|\,x\,|+|\,x-1\,|\) のグラフの描き方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
\(y=|\,x-2\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}~x-2{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}2\) のとき
\(y=x-2\)
\({\small [\,2\,]}~x-2 \lt 0\) すなわち \(x \lt 2\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-(x-2)\\[3pt]~~~&=&-x+2\end{eqnarray}\)
したがって、グラフは、
【別解】\(y=|\,x-2\,|\) は関数全体に絶対値が付いているので、
直線 \(y=x-2\) のグラフの \(x\) 軸より下側の部分を、\(x\) 軸対称移動したグラフとなる
\(y=|\,x^2+2x-3\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}~x^2+2x-3{\small ~≧~}0\) のとき、
\((x+3)(x-1){\small ~≧~}0\)
関数 \(y=(x+3)(x-1)\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(x{\small ~≦~}-3~,~1{\small ~≦~}x\)
このとき、\(y=x^2+2x-3\)
平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(x^2+2x+1-1)-3\\[3pt]~~~&=&(x^2+2x+1)-1-3\\[3pt]~~~&=&(x+1)^2-4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~x^2+2x-3 \lt 0\) のとき
すなわち \(-3 \lt x \lt 1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-(x^2+2x-3)\\[3pt]~~~&=&-x^2-2x+3\end{eqnarray}\)
平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-(x^2+2x)+3\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1-1)+3\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1)-(-1)+3\\[3pt]~~~&=&-(x+1)^2+4\end{eqnarray}\)
したがって、グラフは、
【別解】\(y=|\,x^2+2x-3\,|\) は関数全体に絶対値が付いているので、
放物線 \(y=x^2+2x-3\) のグラフの \(x\) 軸より下側の部分を、\(x\) 軸対称移動したグラフとなる
\(y=x^2-4|\,x\,|+3\) について、
\({\small [\,1\,]}~x{\small ~≧~}0\) のとき
\(y=x^2-4x+3\)
平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(x^2-4x+4-4)+3\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)-4+3\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~x \lt 0\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-4 \cdot (-x)+3\\[3pt]~~~&=&x^2+4x+3\end{eqnarray}\)
平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(x^2+4x+4-4)+3\\[3pt]~~~&=&(x^2+4x+4)-4+3\\[3pt]~~~&=&(x+2)^2-1\end{eqnarray}\)
したがって、グラフは
\(y=|\,x\,|+|\,x-1\,|\) について、
\(|\,x\,|\) は \(x=0\) の前後で、\(|\,x-1\,|\) は \(x=1\) の前後で絶対値の外し方が変わるので、
\({\small [\,1\,]}~x{\small ~≦~}0\) のとき
\(|\,x\,|=-x~,~|\,x-1\,|=-(x-1)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x-(x-1)\\[3pt]~~~&=&-x-x+1\\[3pt]~~~&=&-2x+1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~0 \lt x{\small ~≦~}1\) のとき
\(|\,x\,|=x~,~|\,x-1\,|=-(x-1)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x-(x-1)\\[3pt]~~~&=&x-x+1\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}~x \gt 1\) のとき
\(|\,x\,|=x~,~|\,x-1\,|=x-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x+x-1\\[3pt]~~~&=&2x-1\end{eqnarray}\)
したがって、グラフは、
