- 数学Ⅰ｜２次関数「連立2次不等式の文章問題」の基本例題解説ページです。
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問題｜連立2次不等式の文章問題
２次関数 49物体を毎秒 \(40~{\rm m}\) で真上に投げ、\(x\) 秒後の高さ \(y~{\rm m}\) が \(y=-5x^2+40x\) で表されるとき、物体の高さが \(35~{\rm m}\) 以上 \(75~{\rm m}\) 以下となるのは投げてから何秒後から何秒後までか？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
連立2次不等式の文章問題
Point：連立2次不等式の文章問題
① 求めたい範囲の値を \(x\) として、\(y\) を \(x\) の関数で表す。
\(y=-5x^2+40x\)
② \(y\) の値の範囲から、連立2次不等式を立てる。
\(35{\small ~≦~}-5x^2+40x{\small ~≦~}75\)
③ 連立2次不等式を解き、解を求める。
連立2次不等式の文章問題は、
① 求めたい範囲の値を \(x\) として、\(y\) を \(x\) の関数で表す。
\(y=-5x^2+40x\)
② \(y\) の値の範囲から、連立2次不等式を立てる。
\(35{\small ~≦~}-5x^2+40x{\small ~≦~}75\)
③ 連立2次不等式を解き、解を求める。
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詳しい解説｜連立2次不等式の文章問題
２次関数 49
物体を毎秒 \(40~{\rm m}\) で真上に投げ、\(x\) 秒後の高さ \(y~{\rm m}\) が \(y=-5x^2+40x\) で表されるとき、物体の高さが \(35~{\rm m}\) 以上 \(75~{\rm m}\) 以下となるのは投げてから何秒後から何秒後までか？
高校数学Ⅰ｜２次関数
物体の高さが \(y=-5x^2+40x\) で \(35~{\rm m}\) 以上 かつ \(75~{\rm m}\) 以下であるので、
\(35{\small ~≦~}-5x^2+40x{\small ~≦~}75\)
\(2\) つの2次不等式に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}35{\small ~≦~}-5x^2+40x~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\-5x^2+40x{\small ~≦~}75~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~35 &{\small ~≦~}& -5x^2+40x\\[3pt]~~~5x^2-40x+35 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~x^2-8x+7 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~(x-1)(x-7) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(x-1)(x-7)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}7\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-5x^2+40x &{\small ~≦~}& 75\\[3pt]~~~-5x^2+40x-75 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~-5(x^2-8x+15) &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~x^2-8x+15 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~(x-3)(x-5) &{\small ~≧~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(x-3)(x-5)\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(x{\small ~≦~}3~,~5{\small ~≦~}x\)
よって、数直線上に表すと、共通範囲が連立不等式の解となるので、
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3~,~5{\small ~≦~}x{\small ~≦~}7\)
したがって、投げてから \(1\) 秒後から \(3\) 秒後まで、\(5\) 秒後から \(7\) 秒後までとなる
