- 数学Ⅰ｜２次関数「x²+y²の最大値・最小値」の基本例題解説ページです。
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問題｜x²+y²の最大値・最小値
２次関数 55★実数 \(x~,~y\) が \(x+y=2\) を満たしながら変化するとき、\(x^2+y^2\) の最小値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
x²+y²の最大値・最小値
Point：x²+y²の最大値・最小値
① \(s=x^2+y^2\) とし、\(y=2-x\) を代入して \(s\) を \(x\) の関数で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~s&=&x^2+(2-x)^2\\[3pt]~~~&=&2x^2-4x+4\end{eqnarray}\)
② この関数を平方完成し、\(s=x^2+y^2\) の最小値を求める。
\(x+y=2\) のとき、\(x^2+y^2\) の最小値は、
① \(s=x^2+y^2\) とし、\(y=2-x\) を代入して \(s\) を \(x\) の関数で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~s&=&x^2+(2-x)^2\\[3pt]~~~&=&2x^2-4x+4\end{eqnarray}\)
② この関数を平方完成し、\(s=x^2+y^2\) の最小値を求める。
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詳しい解説｜x²+y²の最大値・最小値
２次関数 55★
実数 \(x~,~y\) が \(x+y=2\) を満たしながら変化するとき、\(x^2+y^2\) の最小値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
\(x^2+y^2\) を \(s\) とすると、
\(s=x^2+y^2\)
ここで、\(x+y=2\) より、\(y=2-x\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~s&=&x^2+(2-x)^2\\[3pt]~~~&=&x^2+4-4x+x^2\\[3pt]~~~&=&2x^2-4x+4\end{eqnarray}\)
\(s\) を \(x\) の関数として平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~s&=&2x^2-4x+4\\[3pt]~~~&=&2(x^2-2x)+4\\[3pt]~~~&=&2(x^2-2x+1-1)+4\\[3pt]~~~&=&2(x^2-2x+1)+2 \cdot (-1)+4\\[3pt]~~~&=&2(x^2-2x+1)-2+4\\[3pt]~~~&=&2(x-1)^2+2\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^2+y^2\) は最小値 \(2\) である
