軸が動く2次関数の最大値・最小値

\(y=x^2-2ax\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2ax
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2-a^2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2)-a^2
\\[3pt]~~~&=&(x-a)^2-a^2\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((a~,~-a^2)\) 、軸の方程式 \(x=a\)

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また、定義域より \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) の中央の値は \(x=1\) となる

よって、最大値は①～③、④、⑤～⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 1\) のとき

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　\(x=2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2a \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&4-4a\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(a=1\) のとき

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　\(x=0~,~2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2 \cdot 1 \cdot 0=0\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 1\) のとき

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　\(x=0\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2a \cdot 0=0\end{eqnarray}\)

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また、最小値は①、②～⑥、⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 0\) のとき

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　\(x=0\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2a \cdot 0=0\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき

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　\(x=a\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a^2-2a \cdot a
\\[3pt]~~~&=&a^2-2a^2
\\[3pt]~~~&=&-a^2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 2\) のとき

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　\(x=2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2a \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&4-4a\end{eqnarray}\)

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したがって、

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最大値は、
　\(a \lt 1\) のとき、\(4-4a\)　（\(x=2\)）
　\(a=1\) のとき、\(0\)　（\(x=0~,~2\)）
　\(a \gt 1\) のとき、\(0\)　（\(x=0\)）

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最小値は、
　\(a \lt 0\) のとき、\(0\)　（\(x=0\)）
　\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき、\(-a^2\)　（\(x=a\)）
　\(a \gt 2\) のとき、\(4-4a\)　（\(x=2\)）