- 数学Ⅰ｜２次関数「放物線がx軸を切り取る線分の長さ」の基本例題解説ページです。
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問題｜放物線がx軸を切り取る線分の長さ
２次関数 34☆放物線 \(y=x^2-3x+1\) が \(x\) 軸から切り取る線分の長さの求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
放物線がx軸を切り取る線分の長さ
Point：放物線がx軸を切り取る線分の長さ
① 2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を解き、\(x\) 軸との2点の座標 \(x=\alpha~,~\beta\) を求める。
② この2つの解の差から線分の長さ \(l\) を求める。
\(l=\beta-\alpha\)
放物線が \(x\) 軸を切り取る線分の長さは、
① 2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を解き、\(x\) 軸との2点の座標 \(x=\alpha~,~\beta\) を求める。
② この2つの解の差から線分の長さ \(l\) を求める。
\(l=\beta-\alpha\)
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詳しい解説｜放物線がx軸を切り取る線分の長さ
２次関数 34☆
放物線 \(y=x^2-3x+1\) が \(x\) 軸から切り取る線分の長さの求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
放物線 \(y=x^2-3x+1\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、2次方程式 \(x^2-3x+1=0\) の解より、
解の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-3)\pm\sqrt{\,(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 1\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\pm\sqrt{\,9-4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\pm\sqrt{5}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、2次関数と \(x\) 軸との共有点の座標は、
\(\left(\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{5}\,}{\,2\,}~,~0\right)~,~\left(\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{5}\,}{\,2\,}~,~0\right)\)
これより、\(x\) 軸が放物線で切り取る線分の長さ \(l\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~l&=&\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{5}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{5}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sqrt{5}\) となる
