放物線と直線の共有点の個数

放物線と直線の式を連立すると、

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　\(\left\{~\begin{array}{l}
y=x^2-2x \\ y=2x-m
\end{array}\right.\)

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\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x&=&2x-m
\\[3pt]~~~x^2-2x-2x+m&=&0
\\[3pt]~~~x^2-4x+m&=&0\end{eqnarray}\)

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放物線と直線の共有点の個数は、2次方程式の解の個数の条件と一致するので、

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\(x^2+2 \cdot (-2)x+m=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) を用いると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-2)^2-1 \cdot m
\\[5pt]~~~&=&4-m\end{eqnarray}\)

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　\({\small [\,1\,]}\)　\(D \gt 0\) のとき、共有点 \(2\) 個

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　\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=4-m &\gt& 0
\\[5pt]~~~-m &\gt& -4
\\[5pt]~~~m &\lt& 4\end{eqnarray}\)

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　\({\small [\,2\,]}\)　\(D=0\) のとき、共有点 \(1\) 個

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　\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=4-m&=&0
\\[5pt]~~~-m&=&-4
\\[5pt]~~~m&=&4\end{eqnarray}\)

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　\({\small [\,3\,]}\)　\(D \lt 0\) のとき、共有点 \(0\) 個

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　\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=4-m &\lt& 0
\\[5pt]~~~-m &\lt& -4
\\[5pt]~~~m &\gt& 4\end{eqnarray}\)

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したがって、放物線と直線の共有点の個数は、

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　\(m \lt 4\) のとき、\(2\) 個

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　\(m=4\) のとき、\(1\) 個

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　\(m \gt 4\) のとき、\(0\) 個