- 数学Ⅰ｜２次関数「2次関数とx軸の共有点の条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次関数とx軸の共有点の条件
２次関数 312次関数 \(y=x^2-4x+m\) のグラフと \(x\) 軸との共有点の個数は、定数 \(m\) の値によってどのように変わるか？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
2次関数とx軸の共有点の条件
Point：2次関数とx軸の共有点の条件
① 2次方程式の判別式 \(D\) の値を求める。
※ 2次関数と \(x\) 軸との共有点の個数と、2次方程式の解の個数の条件は一致する
② 共有点の個数の条件から条件式を立てる。
\({\small [\,1\,]}\) 共有点 \(2\) 個 \(~\Leftrightarrow ~D \gt 0\)
\({\small [\,2\,]}\) 共有点 \(1\) 個 \(~\Leftrightarrow ~D=0\)
\({\small [\,3\,]}\) 共有点 \(0\) 個 \(~\Leftrightarrow ~D \lt 0\)
2次関数 \(y=x^2-4x+m\) と \(x\) 軸との共有点の個数の求め方は、
① 2次方程式の判別式 \(D\) の値を求める。
※ 2次関数と \(x\) 軸との共有点の個数と、2次方程式の解の個数の条件は一致する
② 共有点の個数の条件から条件式を立てる。
\({\small [\,1\,]}\) 共有点 \(2\) 個 \(~\Leftrightarrow ~D \gt 0\)
\({\small [\,2\,]}\) 共有点 \(1\) 個 \(~\Leftrightarrow ~D=0\)
\({\small [\,3\,]}\) 共有点 \(0\) 個 \(~\Leftrightarrow ~D \lt 0\)
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詳しい解説｜2次関数とx軸の共有点の条件
２次関数 31
2次関数 \(y=x^2-4x+m\) のグラフと \(x\) 軸との共有点の個数は、定数 \(m\) の値によってどのように変わるか？
高校数学Ⅰ｜２次関数
2次関数 \(y=x^2-4x+m\) と \(x\) 軸との共有点の個数は、2次方程式 \(x^2-4x+m=0\) の解の個数の条件と一致するので、
\(x^2+2 \cdot (-2)x+m=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-2)^2-1 \cdot m
\\[5pt]~~~&=&4-m\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) \(D \gt 0\) のとき、共有点 \(2\) 個
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=4-m &\gt& 0
\\[5pt]~~~-m &\gt& -4
\\[5pt]~~~m &\lt& 4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(D=0\) のとき、共有点 \(1\) 個
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=4-m&=&0
\\[5pt]~~~-m&=&-4
\\[5pt]~~~m&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) \(D \lt 0\) のとき、共有点 \(0\) 個
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=4-m &\lt& 0
\\[5pt]~~~-m &\lt& -4
\\[5pt]~~~m &\gt& 4\end{eqnarray}\)
したがって、\(x\) 軸との共有点の個数は、
\(m \lt 4\) のとき、\(2\) 個
\(m=4\) のとき、\(1\) 個
\(m \gt 4\) のとき、\(0\) 個
