- 数学Ⅰ｜２次関数「3点を通る2次関数の決定」の基本例題解説ページです。
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問題｜3点を通る2次関数の決定
２次関数 20グラフが \(3\) 点 \((1~,~0)~,~(2~,~-5)~,~(-1~,~4)\) を通る2次関数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
3点を通る2次関数の決定
Point：3点を通る2次関数の決定
① この2次関数を \(y=ax^2+bx+c\) とおく。
② 通る3点の条件を代入し、連立方程式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}a+b+c=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\4a+2b+c=-5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\\a-b+c=4~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ \({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\)、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) から文字 \(c\) を消して、残りの2文字の連立方程式を解く。
④ \(a~,~b~,~c\) を再代入して、2次関数を求める。
\(3\) 点を通る2次関数は、
① この2次関数を \(y=ax^2+bx+c\) とおく。
② 通る3点の条件を代入し、連立方程式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}a+b+c=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\4a+2b+c=-5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\\a-b+c=4~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ \({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\)、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) から文字 \(c\) を消して、残りの2文字の連立方程式を解く。
④ \(a~,~b~,~c\) を再代入して、2次関数を求める。
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詳しい解説｜3点を通る2次関数の決定
２次関数 20
グラフが \(3\) 点 \((1~,~0)~,~(2~,~-5)~,~(-1~,~4)\) を通る2次関数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
この2次関数を \(y=ax^2+bx+c\) とおくと、
点 \((1~,~0)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&a \cdot 1^2+b \cdot 1+c\\[3pt]~~~0&=&a+b+c\\[3pt]~~~a+b+c&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((2~,~-5)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-5&=&a \cdot 2^2+b \cdot 2+c\\[3pt]~~~-5&=&4a+2b+c\\[3pt]~~~4a+2b+c&=&-5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((-1~,~4)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~4&=&a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c\\[3pt]~~~4&=&a-b+c\\[3pt]~~~a-b+c&=&4~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~4a+2b+c&=&-5\\~~-\big{)}~~~a+b+c&=&0\\\hline 3a+b&=&-5~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~a+b+c&=&0\\~~-\big{)}~~~a-b+c&=&4\\\hline 2b&=&-4\\[3pt]~~~b&=&-2\end{eqnarray}\)
\(b=-2\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3a+(-2)&=&-5\\[3pt]~~~3a&=&-5+2\\[3pt]~~~3a&=&-3\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)
\(a=-1~,~b=-2\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-1+(-2)+c&=&0\\[3pt]~~~c&=&0+1+2\\[3pt]~~~c&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、求める2次関数は、
\(y=-x^2-2x+3\)
