- 数学Ⅰ｜２次関数「2つの2次方程式の共通解」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つの2次方程式の共通解
２次関数 54★\(2\) つの2次方程式 \(x^2-2x-k=0~,~\)\(2x^2-7x+k=0\) が共通解をもつとき、定数 \(k\) の値とその共通解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
2つの2次方程式の共通解
Point：2つの2次方程式の共通解
\(x^2-2x-k=0\)
\(2x^2-7x+k=0\)
① 共通解を \(x=\alpha\) とし、\(2\) つの2次方程式に代入して条件式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}\alpha^2-2\alpha-k=0\\\,2\alpha^2-7\alpha+k=0\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 条件式より \(k\) を消去し、\(\alpha\) の2次方程式を解き共通解 \(\alpha\) を求める。
③ \(\alpha\) を再代入して \(k\) の値を求める。
\(2\) つの2次方程式の共通解の条件は、
\(x^2-2x-k=0\)
\(2x^2-7x+k=0\)
① 共通解を \(x=\alpha\) とし、\(2\) つの2次方程式に代入して条件式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}\alpha^2-2\alpha-k=0\\\,2\alpha^2-7\alpha+k=0\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 条件式より \(k\) を消去し、\(\alpha\) の2次方程式を解き共通解 \(\alpha\) を求める。
③ \(\alpha\) を再代入して \(k\) の値を求める。
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詳しい解説｜2つの2次方程式の共通解
２次関数 54★
\(2\) つの2次方程式 \(x^2-2x-k=0~,~\)\(2x^2-7x+k=0\) が共通解をもつとき、定数 \(k\) の値とその共通解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
この \(2\) つの2次方程式の共通解を \(\alpha\) とすると、\(\alpha\) はこの2次方程式を同時に満たすので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}\alpha^2-2\alpha-k=0~~~\hspace{7pt}\cdots {\small [\,1\,]}\\\,2\alpha^2-7\alpha+k=0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~\alpha^2-2\alpha-k&=&0\\[3pt]~~+\big{)}~~~2\alpha^2-7\alpha+k&=&0\\
\hline 3\alpha^2-9\alpha&=&0
\\[3pt]~~~3\alpha(\alpha-3)&=&0
\\[3pt]~~~\alpha&=&0~,~3\end{eqnarray}\)
\(\alpha=0\) のとき \({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~0^2-2 \cdot 0-k&=&0
\\[3pt]~~~-k&=&0
\\[3pt]~~~k&=&0\end{eqnarray}\)
\(\alpha=3\) のとき \({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3^2-2 \cdot 3-k&=&0
\\[3pt]~~~9-6-k&=&0
\\[3pt]~~~3-k&=&0
\\[3pt]~~~-k&=&-3
\\[3pt]~~~k&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、
\(k=0\) のとき 共通解 \(x=0\)
\(k=3\) のとき 共通解 \(x=3\) となる
