- 数学Ⅰ｜２次関数「2次関数y=ax²+bx+cのグラフと係数の正負」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次関数y=ax²+bx+cのグラフと係数の正負
２次関数 35☆2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフは、上に凸のグラフで \(x\) 軸の正の部分で2点で交わり、\(x=1\) のとき \(y \gt 0\) であるとき、\(a~,~b~,~c~,~b^2-4ac~,~a+b+c\) の符号の調べ方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
2次関数y=ax²+bx+cのグラフと係数の正負
Point：2次関数y=ax²+bx+cのグラフと係数の正負
① グラフが下に凸か上に凸かで \(a\) の正負がわかる。
下に凸のグラフ → \(a \gt 0\)
上に凸のグラフ → \(a \lt 0\)
② \(y\) 切片の値より、\(c\) の正負がわかる。
\(y\) 切片が正 → \(c \gt 0\)
\(y\) 切片が負 → \(c \lt 0\)
③ 2次関数を平方完成して、頂点の位置と \(a\) の正負から、\(b\) と \(b^2-4ac\) の正負がわかる。
\(y=a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,-b^2+4ac\,}{\,4a\,}\)
\(x\) 座標 \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\)
\(y\) 座標 \(y=-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\)
※ \(b^2-4ac\) は2次方程式の判別式 \(D\) で、\(x\) 軸との共有点の個数も判断できる
2点で交わる → \(D=b^2-4ac \gt 0\)
1点で接する → \(D=b^2-4ac=0\)
交点なし → \(D=b^2-4ac \lt 0\)
④ \(a+b+c\) の正負は \(x=1\) のときの \(y\) の値で判断できる。
\(y=ax^2+bx+c\) のグラフから係数の正負の判別の方法は、
① グラフが下に凸か上に凸かで \(a\) の正負がわかる。
下に凸のグラフ → \(a \gt 0\)
上に凸のグラフ → \(a \lt 0\)
② \(y\) 切片の値より、\(c\) の正負がわかる。
\(y\) 切片が正 → \(c \gt 0\)
\(y\) 切片が負 → \(c \lt 0\)
③ 2次関数を平方完成して、頂点の位置と \(a\) の正負から、\(b\) と \(b^2-4ac\) の正負がわかる。
\(y=a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,-b^2+4ac\,}{\,4a\,}\)
\(x\) 座標 \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\)
\(y\) 座標 \(y=-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\)
※ \(b^2-4ac\) は2次方程式の判別式 \(D\) で、\(x\) 軸との共有点の個数も判断できる
2点で交わる → \(D=b^2-4ac \gt 0\)
1点で接する → \(D=b^2-4ac=0\)
交点なし → \(D=b^2-4ac \lt 0\)
④ \(a+b+c\) の正負は \(x=1\) のときの \(y\) の値で判断できる。
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詳しい解説｜2次関数y=ax²+bx+cのグラフと係数の正負
２次関数 35☆
2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフは、上に凸のグラフで \(x\) 軸の正の部分で2点で交わり、\(x=1\) のとき \(y \gt 0\) であるとき、\(a~,~b~,~c~,~b^2-4ac~,~a+b+c\) の符号の調べ方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
条件の2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフを描くと次のようになる
上に凸のグラフより、\(a \lt 0\)
\(y\) 切片が負より、\(c \lt 0\)
また、\(y=ax^2+bx+c\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&ax^2+bx+c
\\[3pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、頂点の \(x\) 座標は \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\) で、グラフから頂点の \(x\) 座標は正であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\gt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\lt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \lt 0\) であるので、\(b \gt 0\)
次に、頂点の \(y\) 座標は \(-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\) で、グラフから頂点の \(y\) 座標は正であるなので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}&\gt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}&\lt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \lt 0\) であるので、\(b^2-4ac \gt 0\)
次に、グラフより \(x=1\) のとき \(y \gt 0\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a \cdot 1^2+b \cdot 1+c \gt 0
\\[3pt]~~~&&a+b+c \gt 0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a \lt 0~,~b \gt 0~,~c \lt 0\)
\(b^2-4ac \gt 0~,~a+b+c \gt 0\)
となる
【別解】 \(b^2-4ac\) は判別式 \(D\) に等しいので、グラフが \(x\) 軸と2点で交わることから、
\(D \gt 0\)
よって、\(b^2-4ac \gt 0\)
