- 数学Ⅰ｜２次関数「x軸と接する2次不等式の解」の基本例題解説ページです。
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問題｜x軸と接する2次不等式の解
２次関数 402次不等式 \(x^2-6x+9 \gt 0~,~\)\(x^2-6x+9{\small ~≧~}0~,~\)\(x^2-6x+9 \lt 0~,~\)\(x^2-6x+9{\small ~≦~}0\) の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
x軸と接する2次不等式の解
Point：x軸と接する2次不等式の解
① 2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) を平方完成し、頂点の座標を求める。
\(y=a(x-\alpha)^2\) より、\((\alpha~,~0)\)
② この2次関数のグラフを描き、グラフより2次不等式の解を求める。
\({\small [\,1\,]}\) \(ax^2+bx+c \gt 0\) の場合、
\(y \gt 0\) となる範囲より、\(x=\alpha\) 以外のすべての実数
\({\small [\,2\,]}\) \(ax^2+bx+c{\small ~≧~}0\) の場合、
\(y{\small ~≧~}0\) となる範囲より、すべての実数
\({\small [\,3\,]}\) \(ax^2+bx+c \lt 0\) の場合、
\(y \lt 0\) となる範囲より、解はない。
\({\small [\,4\,]}\) \(ax^2+bx+c{\small ~≦~}0\) の場合、
\(y{\small ~≦~}0\) となる範囲より、\(x=\alpha\)
x軸と接する2次不等式の解は、
① 2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) を平方完成し、頂点の座標を求める。
\(y=a(x-\alpha)^2\) より、\((\alpha~,~0)\)
② この2次関数のグラフを描き、グラフより2次不等式の解を求める。
\({\small [\,1\,]}\) \(ax^2+bx+c \gt 0\) の場合、
\(y \gt 0\) となる範囲より、\(x=\alpha\) 以外のすべての実数
\({\small [\,2\,]}\) \(ax^2+bx+c{\small ~≧~}0\) の場合、
\(y{\small ~≧~}0\) となる範囲より、すべての実数
\({\small [\,3\,]}\) \(ax^2+bx+c \lt 0\) の場合、
\(y \lt 0\) となる範囲より、解はない。
\({\small [\,4\,]}\) \(ax^2+bx+c{\small ~≦~}0\) の場合、
\(y{\small ~≦~}0\) となる範囲より、\(x=\alpha\)
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詳しい解説｜x軸と接する2次不等式の解
２次関数 40
2次不等式 \(x^2-6x+9 \gt 0~,~\)\(x^2-6x+9{\small ~≧~}0~,~\)\(x^2-6x+9 \lt 0~,~\)\(x^2-6x+9{\small ~≦~}0\) の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
2次関数 \(y=x^2-6x+9\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-6x+9\\[3pt]~~~&=&(x-3)^2\end{eqnarray}\)
よって、頂点が \((3~,~0)\) で接するグラフとなる
\(x^2-6x+9 \gt 0\) の解は、
グラフの \(y \gt 0\) となる範囲より、
したがって、\(x=3\) 以外のすべての実数 となる
\(x^2-6x+9{\small ~≧~}0\) の解は、
グラフの \(y{\small ~≧~}0\) となる範囲より、
したがって、すべての実数 となる
\(x^2-6x+9 \lt 0\) の解は、
グラフの \(y \lt 0\) となる範囲より、
したがって、解はない
\(x^2-6x+9{\small ~≦~}0\) の解は、
グラフの \(y{\small ~≦~}0\) となる範囲より、
したがって、\(x=3\) となる
