- 数学Ⅰ｜２次関数「2つの放物線の共有点の座標」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つの放物線の共有点の座標
２次関数 53★\(2\) つの放物線 \(y=x^2-1\) と \(y=-x^2-4x+5\) の共有点の座標の求め方は？また、\(y=2x^2-3x+4\) と \(y=x^2+x\) の共有点の座標の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
2つの放物線の共有点の座標
Point：2つの放物線の共有点の座標
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}y=x^2-1\\y=-x^2-4x+5\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① \(2\) つの放物線を連立し、2次方程式を解く。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-1&=&-x^2-4x+5
\\[3pt]~~~(x+3)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~-3\end{eqnarray}\)
② それぞれの \(x\) の値をどちらかの式に代入して、\(y\) 座標を求め、共有点の座標を求める。
2つの放物線の共有点の座標の求め方は、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}y=x^2-1\\y=-x^2-4x+5\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① \(2\) つの放物線を連立し、2次方程式を解く。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-1&=&-x^2-4x+5
\\[3pt]~~~(x+3)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~-3\end{eqnarray}\)
② それぞれの \(x\) の値をどちらかの式に代入して、\(y\) 座標を求め、共有点の座標を求める。
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詳しい解説｜2つの放物線の共有点の座標
２次関数 53★
\(2\) つの放物線 \(y=x^2-1\) と \(y=-x^2-4x+5\) の共有点の座標の求め方は？また、\(y=2x^2-3x+4\) と \(y=x^2+x\) の共有点の座標の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
\(2\) つの放物線を連立すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}y=x^2-1~~~\hspace{30pt}\cdots {\small [\,1\,]}\\y=-x^2-4x+5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-1&=&-x^2-4x+5
\\[3pt]~~~x^2+x^2+4x-1-5&=&0
\\[3pt]~~~2x^2+4x-6&=&0
\\[3pt]~~~x^2+2x-3&=&0
\\[3pt]~~~(x+3)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~-3\end{eqnarray}\)
\(x=1\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1^2-1
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=-3\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(-3)^2-1
\\[3pt]~~~&=&9-1
\\[3pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)
したがって、共有点の座標は \((1~,~0)~,~(-3~,~8)\) となる
\(2\) つの放物線を連立すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}y=2x^2-3x+4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\y=x^2+x~~~\hspace{27pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~2x^2-3x+4&=&x^2+x\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~2x^2-x^2-3x-x+4&=&0
\\[3pt]~~~x^2-4x+4&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
\(x=2\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2+2
\\[3pt]~~~&=&4+2
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
したがって、共有点の座標は \((2~,~6)\) となる
