範囲内で常に成り立つ2次不等式

関数 \(y=x^2-2x+m^2-4m\) を平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2x+m^2-4m\\[3pt]~~~&=&(x^2-2x+1-1)+m^2-4m\\[3pt]~~~&=&(x^2-2x+1)-1+m^2-4m\\[3pt]~~~&=&(x-1)^2+m^2-4m-1\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((1~,~m^2-4m-1)\) 、下に凸のグラフで定義域 \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) より、

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これより、\(x=3\) のとき最大値となり、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&3^2-2 \cdot 3+m^2-4m\\[3pt]~~~&=&9-6+m^2-4m\\[3pt]~~~&=&m^2-4m+3\end{eqnarray}\)

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ここで、この関数が \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) の範囲で常に負となるためには、最大値が負であればよいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~m^2-4m+3&\lt&0\\[3pt]~~~(m-1)(m-3)&\lt&0\end{eqnarray}\)

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関数 \(y=(m-1)(m-3)\) の \(y \lt 0\) の範囲がこの不等式の解となるので、

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したがって、\(1 \lt m \lt 3\) となる。