2次方程式の実数解の条件

2次方程式 \(x^2-4x+m=0\) が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 \(D \gt 0\) であるので、

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\(x^2+2 \cdot (-2)x+m=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) を用いると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-2)^2-1 \cdot m &\gt& 0
\\[5pt]~~~4-m &\gt& 0
\\[5pt]~~~-m &\gt& -4
\\[5pt]~~~m &\lt& 4\end{eqnarray}\)

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したがって、\(m \lt 4\) となる

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また、実数解をもつ条件は、判別式 \(D{\small ~≧~}0\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-2)^2-1 \cdot m &{\small ~≧~}& 0
\\[5pt]~~~4-m &{\small ~≧~}& 0
\\[5pt]~~~-m &{\small ~≧~}& -4
\\[5pt]~~~m &{\small ~≦~}& 4\end{eqnarray}\)

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したがって、\(m{\small ~≦~}4\) となる

 
 

2次方程式 \(x^2+mx+m+3=0\) が重解をもつ条件は、判別式 \(D=0\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~D=m^2-4 \cdot 1 \cdot (m+3)&=&0
\\[3pt]~~~m^2-4m-12&=&0
\\[3pt]~~~(m-6)(m+2)&=&0
\\[3pt]~~~m&=&6~,~-2\end{eqnarray}\)

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　\(m=6\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x^2+6x+6+3&=&0
\\[3pt]~~~x^2+6x+9&=&0
\\[3pt]~~~(x+3)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3\end{eqnarray}\)

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　\(m=-2\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x-2+3&=&0
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(m=6\) のとき、重解 \(x=-3\)
　\(m=-2\) のとき、重解 \(x=1\)