常に成り立つ2次不等式

2次不等式 \(x^2+mx+m+3 \gt 0\) の解がすべての実数であるとき、

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2次関数 \(y=x^2+mx+m+3\) は常に正となり、\(x\) 軸と交わらない

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よって、2次方程式 \(x^2+mx+m+3=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=m^2-4 \cdot 1 \cdot (m+3)&\lt&0\\[3pt]~~~m^2-4m-12&\lt&0\\[3pt]~~~(m-6)(m+2)&\lt&0\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=(m-6)(m+2)\) の \(y \lt 0\) の範囲が この不等式の解となる

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したがって、\(-2 \lt m \lt 6\) となる

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2次関数 \(y=x^2-mx-m+1\) の \(y\) の値が常に正であるので、2次関数のグラフと \(x\) 軸と交わらない

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よって、2次方程式 \(x^2-mx-m+1=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる

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\(\begin{eqnarray}~~~D=(-m)^2-4 \cdot 1 \cdot (-m+1)&\lt&0\\[3pt]~~~m^2+4m-4&\lt&0\end{eqnarray}\)

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ここで、2次方程式 \(m^2+4m-4=0\) の解は、

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\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm \sqrt{\,4^2-4 \cdot 1 \cdot (-4)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm \sqrt{\,16+16\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm \sqrt{\,32\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm 4\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&-2 \pm 2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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2次関数 \(y=m^2+4m-4\) の \(y \lt 0\) の範囲が この不等式の解となり、\(m\) 軸との交点は \(-2-2\sqrt{\,2\,}~,~-2+2\sqrt{\,2\,}\)

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したがって、\(-2-2\sqrt{\,2\,} \lt m \lt -2+2\sqrt{\,2\,}\) となる。