- 数学Ⅰ｜２次関数「平方完成とy=ax²+bx+cのグラフ」の基本例題解説ページです。
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問題｜平方完成とy=ax²+bx+cのグラフ
２次関数 062次関数 \(y=x^2-4x-2~,~\)\(y=3x^2+12x+5~,~\)\(y=-x^2-2x+3\) のグラフの描き方は？また、軸と頂点の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
平方完成とy=ax²+bx+cのグラフ
Point：平方完成とy=ax²+bx+cのグラフ
\(y=3x^2+12x+5\) を例にすると、
① \(x^2\) の係数で \(x^2\) と \(x\) の項だけくくり出す。
\(=3(x^2+4x)+5\)
② \((~~~)\) の中が因数分解の形になるように、\(x\) の係数の半分の2乗の値を足して引く。
\(=3(x^2+4x+4-4)+5\)
③ 引いた値は \((~~~)\) の外に出して、\((~~~)\) の中は因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3(x^2+4x+4)+3 \cdot (-4)+5\\[3pt]~~~&=&3(x+2)^2-7\end{eqnarray}\)
これより、頂点が \((-2~,~-7)\) となり、\(a\) の正負で凸の方向、\(c\) の値が \(y\) 切片となる。
\(y=ax^2+bx+c\) を \(y=a(x-p)^2+q\) に変形する平方完成の方法は、
\(y=3x^2+12x+5\) を例にすると、
① \(x^2\) の係数で \(x^2\) と \(x\) の項だけくくり出す。
\(=3(x^2+4x)+5\)
② \((~~~)\) の中が因数分解の形になるように、\(x\) の係数の半分の2乗の値を足して引く。
\(=3(x^2+4x+4-4)+5\)
③ 引いた値は \((~~~)\) の外に出して、\((~~~)\) の中は因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3(x^2+4x+4)+3 \cdot (-4)+5\\[3pt]~~~&=&3(x+2)^2-7\end{eqnarray}\)
これより、頂点が \((-2~,~-7)\) となり、\(a\) の正負で凸の方向、\(c\) の値が \(y\) 切片となる。
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詳しい解説｜平方完成とy=ax²+bx+cのグラフ
２次関数 06
2次関数 \(y=x^2-4x-2~,~\)\(y=3x^2+12x+5~,~\)\(y=-x^2-2x+3\) のグラフの描き方は？また、軸と頂点の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-4x-2\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)-4-2\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2-6\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((2~,~-6)\) 、軸の方程式 \(x=2\)
\(y\) 切片が \(-2\) 、下に凸のグラフより、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\
\hline
y & \searrow & -2 & \searrow & -6 & \nearrow
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&3x^2+12x+5\\[3pt]~~~&=&3(x^2+4x)+5\\[3pt]~~~&=&3(x^2+4x+4-4)+5\\[3pt]~~~&=&3(x^2+4x+4)+3 \cdot (-4)+5\\[3pt]~~~&=&3(x+2)^2-12+5\\[3pt]~~~&=&3(x+2)^2-7\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((-2~,~-7)\) 、軸の方程式 \(x=-2\)
\(y\) 切片が \(5\) 、下に凸のグラフより、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots \\
\hline
y & \searrow & -7 & \nearrow & 5 & \nearrow
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2-2x+3\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x)+3\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1-1)+3\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1)-1 \cdot (-1)+3\\[3pt]~~~&=&-(x+1)^2+1+3\\[3pt]~~~&=&-(x+1)^2+4\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((-1~,~4)\) 、軸の方程式 \(x=-1\)
\(y\) 切片が \(3\) 、上に凸のグラフより、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots \\
\hline
y & \nearrow & 4 & \searrow & 3 & \searrow
\end{array}\)
