2次方程式の実数解と解の公式

\(x^2+2x-3=0\) は、左辺を因数分解すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2+2x-3&=&0
\\[3pt]~~~(x+3)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~-3\end{eqnarray}\)

 
 

\(2x^2+5x-3=0\) は、左辺のたすき掛けの因数分解より、

---

　\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2&&-1~&~-1\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~1&&+3~&~6\\[2pt]
\hline
&&&5
\end{array}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~2x^2+5x-3&=&0
\\[3pt]~~~(2x-1)(x+3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-3\end{eqnarray}\)

 
 

\(x^2-3x+1=0\) は、左辺が因数分解できないので、解の公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-3)\pm\sqrt{\,(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 1\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\pm\sqrt{\,9-4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\pm\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

 
 

\(3x^2+2x-2=0\) は、左辺が因数分解できない

---

また、\(3x^2+2x-2=0\) の \(x\) の係数が偶数であるので、\(3x^2+2\cdot 1\cdot x-2=0\) として解の公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{\,1^2-3 \cdot (-2)\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{\,1+6\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{\,7\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

 
 

\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2-3x-12=0\) は、共通因数として \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) をくくり出すと、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,2\,}x-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,2\,}&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(x^2-2x-8)&=&0\end{eqnarray}\)

---

（　）の中を因数分解すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(x-4)(x+2)&=&0
\\[5pt]~~~x&=&4~,~-2\end{eqnarray}\)

 
 

\(2x^2-5\sqrt{3}\,x+6=0\) は、左辺のたすき掛けの因数分解より、

---

　\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2&&-\sqrt{3}~&~-\sqrt{3}\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~1&&-2\sqrt{3}~&~-4\sqrt{3}\\[2pt]
\hline
&&&-5\sqrt{3}
\end{array}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~2x^2-5\sqrt{3}\,x+6&=&0
\\[3pt]~~~(2x-\sqrt{3})(x-2\sqrt{3})&=&0
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}~,~2\sqrt{3}\end{eqnarray}\)