軸が動く2次関数の決定

\(y=x^2-2ax\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2ax
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2-a^2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2)-a^2
\\[3pt]~~~&=&(x-a)^2-a^2\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((a~,~-a^2)\) 、軸の方程式 \(x=a\)

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定義域より \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) において、

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軸 \(x=a\) の位置が \(0\) の前後と \(2\) の前後で場合分けをすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a\lt 0\) のとき

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　\(x=0\) で最小値となり、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2a \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

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　\(-1\) とならないので不適

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\({\small [\,2\,]}\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき

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　\(x=a\) で最小値となり、頂点の \(y\) 座標より \(-a^2\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~-a^2&=&-1
\\[3pt]~~~a^2&=&1
\\[3pt]~~~a&=&\pm 1\end{eqnarray}\)

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　\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\\) より、\(a=1\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a\gt 2\) のとき

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　\(x=2\) で最小値となり、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2a \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&4-4a\end{eqnarray}\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~4-4a&=&-1
\\[3pt]~~~-4a&=&-1-4
\\[3pt]~~~-4a&=&-5
\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

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　\(a\gt 2\) より、不適

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したがって、定数 \(a\) の値は \(a=1\) となる。