- 数学Ⅰ｜２次関数「2次関数の最小値の最大・最小」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次関数の最小値の最大・最小
２次関数 18☆\(x\) の2次関数 \(y=x^2+2ax-4a+1\) の最小値 \(m\) を \(a\) の式で表す方法は？また、\(m\) の最大値とそのときの \(a\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
2次関数の最小値の最大・最小
Point：2次関数の最小値の最大・最小
① 文字係数の2次関数を平方完成して、最小値 \(m\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2+2ax-4a+1\\[3pt]~~~&=&(x+a)^2-a^2-4a+1\end{eqnarray}\)
よって、\(m=-a^2-4a+1\)
② 最小値 \(m\) を \(a\) の関数として、平方完成して最大値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&-a^2-4a+1\\[3pt]~~~&=&-(a+2)^2+5\end{eqnarray}\)
\(a=-2\) のとき、最大値 \(5\)
2次関数の最小値 \(m\) の最大・最小は、
① 文字係数の2次関数を平方完成して、最小値 \(m\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2+2ax-4a+1\\[3pt]~~~&=&(x+a)^2-a^2-4a+1\end{eqnarray}\)
よって、\(m=-a^2-4a+1\)
② 最小値 \(m\) を \(a\) の関数として、平方完成して最大値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&-a^2-4a+1\\[3pt]~~~&=&-(a+2)^2+5\end{eqnarray}\)
\(a=-2\) のとき、最大値 \(5\)
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詳しい解説｜2次関数の最小値の最大・最小
２次関数 18☆
\(x\) の2次関数 \(y=x^2+2ax-4a+1\) の最小値 \(m\) を \(a\) の式で表す方法は？また、\(m\) の最大値とそのときの \(a\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
この関数を \(x\) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2+2ax-4a+1\\[3pt]~~~&=&(x^2+2ax+a^2-a^2)-4a+1\\[3pt]~~~&=&(x^2+2ax+a^2)-a^2-4a+1\\[3pt]~~~&=&(x+a)^2-a^2-4a+1\end{eqnarray}\)
頂点 \((-a~,~-a^2-4a+1)\) で下に凸のグラフとなる
したがって、\(x=-a\) のとき
最小値 \(m=-a^2-4a+1\) となる
\(m\) を \(a\) の関数として平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&-a^2-4a+1\\[3pt]~~~&=&-(a^2+4a)+1\\[3pt]~~~&=&-(a^2+4a+4-4)+1\\[3pt]~~~&=&-(a^2+4a+4)-1{\, \small \times \,}(-4)+1\\[3pt]~~~&=&-(a+2)^2+4+1\\[3pt]~~~&=&-(a+2)^2+5\end{eqnarray}\)
頂点 \((-2~,~5)\) で上に凸のグラフとなる
したがって、\(m\) は \(a=-2\) のとき
最大値 \(5\) をとる
