- 数学Ⅰ｜２次関数「2次関数の最大値・最小値の文章問題」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次関数の最大値・最小値の文章問題
２次関数 17\(1\) 辺が \(20~{\rm cm}\) の正方形 \({\rm ABCD}\) 上を点 \({\rm P}\) は \({\rm A}\) → \({\rm B}\) に毎秒 \(1~{\rm cm}\) で、点 \({\rm Q}\) は \({\rm B}\) → \({\rm C}\) を毎秒 \(2~{\rm cm}\) で動くとき、線分 \({\rm PQ}\) の長さが最小となるのは何秒後か？また、物体を毎秒 \(20~{\rm m}\) で真上に投げ、\(x\) 秒後の高さ \(y\) \({\rm m}\) が \(y=-5x^2+20x\) で表されるとき、物体が最高点に達するときは何秒後で高さが何 \({\rm m}\) か？また、再び地面に戻ってくるときは何秒後？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
2次関数の最大値・最小値の文章問題
Point：2次関数の最大値・最小値の文章問題
① 最大値・最小値を求めたい値を \(y\)、変化する値を \(x\) として、\(y\) を \(x\) の式で表す。
② \(x\) の値の条件から定義域を求める。
辺の長さや高さ \(\gt 0\) など
③ 2次関数を平方完成して、グラフを描き、最大値・最小値を求める。
2次関数の最大値・最小値の文章問題は、
① 最大値・最小値を求めたい値を \(y\)、変化する値を \(x\) として、\(y\) を \(x\) の式で表す。
② \(x\) の値の条件から定義域を求める。
辺の長さや高さ \(\gt 0\) など
③ 2次関数を平方完成して、グラフを描き、最大値・最小値を求める。
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詳しい解説｜2次関数の最大値・最小値の文章問題
２次関数 17
\(1\) 辺が \(20~{\rm cm}\) の正方形 \({\rm ABCD}\) 上を点 \({\rm P}\) は \({\rm A}\) → \({\rm B}\) に毎秒 \(1~{\rm cm}\) で、点 \({\rm Q}\) は \({\rm B}\) → \({\rm C}\) を毎秒 \(2~{\rm cm}\) で動くとき、線分 \({\rm PQ}\) の長さが最小となるのは何秒後か？また、物体を毎秒 \(20~{\rm m}\) で真上に投げ、\(x\) 秒後の高さ \(y\) \({\rm m}\) が \(y=-5x^2+20x\) で表されるとき、物体が最高点に達するときは何秒後で高さが何 \({\rm m}\) か？また、再び地面に戻ってくるときは何秒後？
高校数学Ⅰ｜２次関数
\(x\) 秒後の \({\rm PQ}\) の長さを \(l\) とする
\({\rm AP}=x~,~{\rm BQ}=2x\) より、それぞれの長さが \(0~{\rm cm}\) 以上 \(20~{\rm cm}\) 以下であるので、
\(0{{\small ~≦~}}x{{\small ~≦~}}20~,~0{{\small ~≦~}}2x{{\small ~≦~}}20\)
よって、\(0{{\small ~≦~}}x{{\small ~≦~}}10\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PB}&=&{\rm AB}-{\rm AP}\\[3pt]~~~&=&20-x\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm PBQ}\) の三平方の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~l^2&=&(20-x)^2+(2x)^2\\[3pt]~~~&=&400-40x+x^2+4x^2\\[3pt]~~~&=&5x^2-40x+400\end{eqnarray}\)
平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&5(x^2-8x)+400\\[3pt]~~~&=&5(x^2-8x+16-16)+400\\[3pt]~~~&=&5(x^2-8x+16)+5{\, \small \times \,}(-16)+400\\[3pt]~~~&=&5(x-4)^2-80+400\\[3pt]~~~&=&5(x-4)^2+320\end{eqnarray}\)
定義域は \(0{{\small ~≦~}}x{{\small ~≦~}}10\) より、
グラフより、\(l^2\) は \(x=4\) のとき最小値 \(320\) をとるので、
\(l\) も \(x=4\) のとき最小となる
したがって、\(4\) 秒後となる
高さ \(y\) の関数を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-5x^2+20x\\[3pt]~~~&=&-5(x^2-4x)\\[3pt]~~~&=&-5(x^2-4x+4-4)\\[3pt]~~~&=&-5(x^2-4x+4)-5{\, \small \times \,}(-4)\\[3pt]~~~&=&-5(x-2)^2+20\end{eqnarray}\)
また、定義域は \(x{{\small ~≧~}}0\) より、
これより \(x=2\) のとき最大値 \(20\) をとるので、
したがって、\(2\) 秒後に最高点に達し高さ \(20~{\rm m}\)
また、物体が地面に戻ってくるのは、
\(y=0~{\rm m}\) のときなので、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&-5x^2+20x\\[3pt]~~~5x^2-20x&=&0\\[3pt]~~~5x(x-4)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~4\end{eqnarray}\)
\(x=0\) は投げた瞬間なので \(x=4\) のとき
したがって、\(4\) 秒後に戻ってくる
