- 数学Ⅰ｜２次関数「解が与えられた2次方程式」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜解が与えられた2次方程式
２次関数 26☆2次方程式 \(x^2-4x+m=0\) の \(1\) つの解が \(2-\sqrt{3}\) のとき、定数 \(m\) の値と他の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
解が与えられた2次方程式
Point：解が与えられた2次方程式
① 解の \(1\) つを代入して、定数 \(m\) の値を求める。
\((2-\sqrt{3})^2-4(2-\sqrt{3})+m=0\)
これより、\(m=1\)
② \(m\) を代入して、2次方程式を解き、他の解を求める。
\(x^2-4x+1=0\)
\(~\Leftrightarrow~x=2\pm\sqrt{3}\)
解が与えられた2次方程式は、
① 解の \(1\) つを代入して、定数 \(m\) の値を求める。
\((2-\sqrt{3})^2-4(2-\sqrt{3})+m=0\)
これより、\(m=1\)
② \(m\) を代入して、2次方程式を解き、他の解を求める。
\(x^2-4x+1=0\)
\(~\Leftrightarrow~x=2\pm\sqrt{3}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜解が与えられた2次方程式
２次関数 26☆
2次方程式 \(x^2-4x+m=0\) の \(1\) つの解が \(2-\sqrt{3}\) のとき、定数 \(m\) の値と他の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
\(x^2-4x+m=0\) の解の \(1\) つの \(x=2-\sqrt{3}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2-\sqrt{3})^2-4(2-\sqrt{3})+m&=&0
\\[3pt]~~~(4-4\sqrt{3}+3)-8+4\sqrt{3}+m&=&0
\\[3pt]~~~7-4\sqrt{3}-8+4\sqrt{3}+m&=&0
\\[3pt]~~~-1+m&=&0
\\[3pt]~~~m&=&1\end{eqnarray}\)
よって、この2次方程式は、\(x^2-4x+1=0\)
\(x^2+2 \cdot (-2)x+1=0\) として解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-2)\pm\sqrt{\,(-2)^2-1 \cdot 1\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&2\pm\sqrt{\,4-1\,}
\\[5pt]~~~&=&2\pm\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、他の解は \(x=2+\sqrt{3}\) となる
【別解】解の \(1\) つの \(x=2-\sqrt{3}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&2-\sqrt{3}
\\[3pt]~~~x-2&=&-\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2)^2&=&(-\sqrt{3})^2
\\[3pt]~~~x^2-4x+4&=&3
\\[3pt]~~~x^2-4x+1&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x^2-4x+m=0\) と比較して、\(m=1\) となる
また、この2次方程式は、\(x^2-4x+1=0\)
\(x^2+2 \cdot (-2)x+1=0\) として解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-2)\pm\sqrt{\,(-2)^2-1 \cdot 1\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&2\pm\sqrt{\,4-1\,}
\\[5pt]~~~&=&2\pm\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、他の解は \(x=2+\sqrt{3}\) となる
