2次関数の最大値・最小値(定義域なし)

\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-4x-2
\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)-4-2
\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2-6\end{eqnarray}\)

---

よって、頂点 \((2~,~-6)\) 、下に凸のグラフより、

---

　\(\begin{array}{c|ccc}
x & \cdots & 2 & \cdots \\
\hline
y & \searrow & -6 & \nearrow
\end{array}\)

---

---

したがって、\(x=2\) のとき最小値 \(-6\)
最大値はない。

 
 

\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2-2x+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x)+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1-1)+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1)+1+3
\\[3pt]~~~&=&-(x+1)^2+4\end{eqnarray}\)

---

よって、頂点 \((-1~,~4)\) 、上に凸のグラフより、

---

　\(\begin{array}{c|ccc}
x & \cdots & -1 & \cdots \\
\hline
y & \nearrow & 4 & \searrow
\end{array}\)

---

---

したがって、\(x=-1\) のとき最大値 \(4\)
最小値はない。