x軸と2点で交わる2次不等式の解

2次方程式 \(x^2+x-2=0\) の解は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(x+2)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)

---

よって、2次関数 \(y=x^2+x-2\) のグラフは、

---

---

グラフの \(y \gt 0\) となる範囲がこの2次不等式の解より、

---

　\(x \lt -2~,~1 \lt x\) となる

 
 

2次方程式 \(x^2-5x=0\) の解は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x(x-5)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~5\end{eqnarray}\)

---

よって、2次関数 \(y=x^2-5x\) のグラフは、

---

---

グラフの \(y{\small ~≦~}0\) となる範囲がこの2次不等式の解より、

---

　\(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\) となる

 
 

2次方程式 \(2x^2+x-1=0\) の解は、

---

たすき掛けの表を用いると、

---

　\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2&&-1~&~-1\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~1&&+1~&~+2\\[2pt]
\hline
&&&+1
\end{array}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2x-1)(x+1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

よって、2次関数 \(y=2x^2+x-1\) のグラフは、

---

---

グラフの \(y \lt 0\) となる範囲がこの2次不等式の解より、

---

　\(-1 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる

 
 

2次方程式 \(x^2-3x+1=0\) の解は、

---

左辺が因数分解の形にできないので、解の公式より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-3) \pm \sqrt{\,(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 1\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3 \pm \sqrt{\,9-4\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3 \pm \sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

よって、2次関数 \(y=x^2-3x+1\) のグラフは、

---

---

グラフの \(y{\small ~≧~}0\) となる範囲がこの2次不等式の解より、

---

　\(x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}{\small ~≦~}x\) となる

 
 

　\(-x^2+2x+1 \gt 0\)

---

両辺に \(-1\) を掛けると符号の向きが逆になり、

---

　\(x^2-2x-1 \lt 0\)

---

ここで、2次方程式 \(x^2-2x-1=0\) の解は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-2) \pm \sqrt{\,(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm \sqrt{\,4+4\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm 2\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&1 \pm \sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

よって、2次関数 \(y=x^2-2x-1\) のグラフは、

---

---

グラフの \(y \lt 0\) となる範囲がこの2次不等式の解より、

---

　\(1-\sqrt{\,2\,} \lt x \lt 1+\sqrt{\,2\,}\) となる

 
 

　\(-2x^2+5\sqrt{3}\,x-6{\small ~≦~}0\)

---

両辺に \(-1\) を掛けると符号の向きが逆になり、

---

　\(2x^2-5\sqrt{3}\,x+6{\small ~≧~}0\)

---

ここで、2次方程式 \(2x^2-5\sqrt{3}\,x+6=0\) の解は、

---

たすき掛けの表を用いると、

---

　\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2&&-\sqrt{3}~&~-\sqrt{3}\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~1&&-2\sqrt{3}~&~-4\sqrt{3}\\[2pt]
\hline
&&&-5\sqrt{3}
\end{array}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2x-\sqrt{3}\,)(x-2\sqrt{3}\,)&=&0\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}~,~2\sqrt{3}\end{eqnarray}\)

---

よって、2次関数 \(y=2x^2-5\sqrt{3}\,x+6\) のグラフは、

---

---

グラフの \(y{\small ~≧~}0\) となる範囲がこの2次不等式の解より、

---

　\(x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}~,~2\sqrt{3}{\small ~≦~}x\) となる