- 数学Ⅰ｜２次関数「2次方程式の実数解の個数」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次方程式の実数解の個数
２次関数 272次方程式 \(x^2-5x+14=0~,~\)\(4x^2-4x+1=0~,~\)\(x^2-3x+1=0\) の実数解の個数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
2次方程式の実数解の個数
Point：2次方程式の実数解の個数
\(x=\displaystyle \frac{\,-b\pm\sqrt{\,b^2-4ac\,}\,}{\,2a\,}\)
この平方根の中の \(b^2-4ac\) を判別式 \(D\) という。
この判別式 \(D=b^2-4ac\) の値で2次方程式の実数解の個数がわかる。
\({\small [\,1\,]}\) \(D \gt 0\)
\(~\Leftrightarrow ~ \) 異なる2つの実数解をもつ
\({\small [\,2\,]}\) \(D=0\)
\(~\Leftrightarrow ~ \) ただ1つの実数解（重解）をもつ
\({\small [\,3\,]}\) \(D \lt 0\)
\(~\Leftrightarrow ~ \) 実数解をもたない
また、\(x\) の係数が偶数のとき、
\(ax^2+2b^{\prime}x+c=0\) として、
判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac\)
を用いてもよい。
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解の公式
\(x=\displaystyle \frac{\,-b\pm\sqrt{\,b^2-4ac\,}\,}{\,2a\,}\)
この平方根の中の \(b^2-4ac\) を判別式 \(D\) という。
この判別式 \(D=b^2-4ac\) の値で2次方程式の実数解の個数がわかる。
\({\small [\,1\,]}\) \(D \gt 0\)
\(~\Leftrightarrow ~ \) 異なる2つの実数解をもつ
\({\small [\,2\,]}\) \(D=0\)
\(~\Leftrightarrow ~ \) ただ1つの実数解（重解）をもつ
\({\small [\,3\,]}\) \(D \lt 0\)
\(~\Leftrightarrow ~ \) 実数解をもたない
また、\(x\) の係数が偶数のとき、
\(ax^2+2b^{\prime}x+c=0\) として、
判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac\)
を用いてもよい。
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詳しい解説｜2次方程式の実数解の個数
２次関数 27
2次方程式 \(x^2-5x+14=0~,~\)\(4x^2-4x+1=0~,~\)\(x^2-3x+1=0\) の実数解の個数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
\(x^2-5x+14=0\) の判別式を \(D\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 14
\\[3pt]~~~&=&25-56
\\[3pt]~~~&=&-31 \lt 0\end{eqnarray}\)
したがって、この2次方程式は実数解をもたない
\(4x^2-4x+1=0\) の判別式を \(D\) とすると、
\(4x^2+2 \cdot (-2)x+1=0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-2)^2-4 \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&4-4
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、この2次方程式は、ただ1つの実数解（重解）をもつ
\(x^2-3x+1=0\) の判別式を \(D\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&9-4
\\[3pt]~~~&=&5 \gt 0\end{eqnarray}\)
したがって、この2次方程式は異なる2つの実数解をもつ
