定義域の片側が動く2次関数の最大値・最小値

\(y=x^2-2x+1\) を平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2x+1
\\[3pt]~~~&=&(x-1)^2\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((1~,~0)\) 、軸の方程式 \(x=1\)

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また、対称性より \(x=2\) のとき \(x=0\) と同じ \(y\) の値となる

よって、最大値は①～③、④、⑤の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a \lt 2\) のとき

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　\(x=0\) で、\(y=0^2-2 \cdot 0+1=1\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(a=2\) のとき

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　\(x=0~,~2\) で、\(y=1\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 2\) のとき

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　\(x=a\) で、\(y=a^2-2a+1\)

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また、最小値は①、②～⑤の2つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a \lt 1\) のとき

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　\(x=a\) で、\(y=a^2-2a+1\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(a{\small ~≧~}1\) のとき

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　\(x=1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1^2-2 \cdot 1+1
\\[3pt]~~~&=&1-2+1
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

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したがって、

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最大値は、
　\(0 \lt a \lt 2\) のとき、\(1\)　（\(x=0\)）
　\(a=2\) のとき、\(1\)　（\(x=0~,~2\)）
　\(a \gt 2\) のとき、\(a^2-2a+1\)　（\(x=a\)）

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最小値は、
　\(0 \lt a \lt 1\) のとき、\(a^2-2a+1\)　（\(x=a\)）
　\(a{\small ~≧~}1\) のとき、\(0\)　（\(x=1\)）