定義域のある2次関数の最大値・最小値

\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-4x-2
\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)-4-2
\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2-6\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((2~,~-6)\) 、下に凸のグラフ

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また、定義域より \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) において、

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　\(x=0\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-4 \cdot 0-2
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)

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　\(x=3\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&3^2-4 \cdot 3-2
\\[3pt]~~~&=&9-12-2
\\[3pt]~~~&=&-5\end{eqnarray}\)

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グラフを描くと、

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　\(\begin{array}{c|ccccc}
x & 0 & \cdots & 2 & \cdots & 3 \\
\hline
y & -2 & \searrow & -6 & \nearrow & -5
\end{array}\)

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したがって、

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　値域は \(-6{\small ~≦~}y{\small ~≦~}-2\)
　\(x=0\) のとき、最大値 \(-2\)
　\(x=2\) のとき、最小値 \(-6\) となる

 
 

\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2-2x+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x)+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1-1)+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1)+1+3
\\[3pt]~~~&=&-(x+1)^2+4\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((-1~,~4)\) 、上に凸のグラフ

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また、定義域より \(-3 \lt x \lt 0\) において、

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　\(x=-3\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-(-3)^2-2 \cdot (-3)+3
\\[3pt]~~~&=&-9+6+3
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

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　\(x=0\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-0^2-2 \cdot 0+3
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)

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グラフを描くと、

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　\(\begin{array}{c|ccccc}
x & -3 & \cdots & -1 & \cdots & 0 \\
\hline
y & 0 & \nearrow & 4 & \searrow & 3
\end{array}\)

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したがって、

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　値域は \(0\lt y\lt 4\)
　\(x=-1\) のとき、最大値 \(4\)
　最小値はない