定義域の両端が動く2次関数の最大値・最小値

\(y=x^2-2x+1\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2x+1
\\[3pt]~~~&=&(x-1)^2\end{eqnarray}\)

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よって、頂点 \((1~,~0)\) 、軸の方程式 \(x=1\)

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さらに、定義域より \(a{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a+2\) の中央の値は \(x=a+1\) となる

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これより、軸 \(x=1\) の位置について \(a~,~a+1~,~a+2\) の前後で場合分けが必要となる

よって、最大値は①～③、④、⑤～⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 0\) のとき

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　\(x=a\) で、\(y=a^2-2a+1\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(a=0\) のとき

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　\(x=a~,~a+2\) すなわち \(x=0~,~2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2 \cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 0\) のとき

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　\(x=a+2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(a+2)^2-2(a+2)+1
\\[3pt]~~~&=&a^2+4a+4-2a-4+1
\\[3pt]~~~&=&a^2+2a+1\end{eqnarray}\)

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また、最小値は①、②～⑥、⑦の3つに場合分けすると、

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\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt -1\) のとき

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　\(x=a+2\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(a+2)^2-2(a+2)+1
\\[3pt]~~~&=&a^2+4a+4-2a-4+1
\\[3pt]~~~&=&a^2+2a+1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) \(-1{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) のとき

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　\(x=1\) で、
　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1^2-2 \cdot 1+1
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) \(a \gt 1\) のとき

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　\(x=a\) で、
　\(y=a^2-2a+1\)

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したがって、

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最大値は、
　\(a \lt 0\) のとき、\(a^2-2a+1\)　（\(x=a\)）
　\(a=0\) のとき、\(1\)　（\(x=0~,~2\)）
　\(a \gt 0\) のとき、\(a^2+2a+1\)　（\(x=a+2\)）

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最小値は、
　\(a \lt -1\) のとき、\(a^2+2a+1\)　（\(x=a+2\)）
　\(-1{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) のとき、\(0\)　（\(x=1\)）
　\(a \gt 1\) のとき、\(a^2-2a+1\)　（\(x=a\)）