定義域ありの最大値・最小値と2次関数の決定

関数 \(y=x^2-4x+c\) を平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(x^2-4x+4)-4+c\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2+c-4\end{eqnarray}\)

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よって、頂点が \((2~,~c-4)\) 、下に凸のグラフで、定義域が \(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\) である

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グラフより、\(x=4\) で最大値 \(-2\) をとるので、代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~-2&=&4^2-4 \cdot 4+c\\[3pt]~~~-2&=&16-16+c\\[3pt]~~~-2&=&c\\[3pt]~~~c&=&-2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(c=-2\) となる

 
 

関数 \(y=ax^2-2ax+b\) を平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a(x^2-2x)+b\\[3pt]~~~&=&a(x^2-2x+1-1)+b\\[3pt]~~~&=&a(x^2-2x+1)+a(-1)+b\\[3pt]~~~&=&a(x-1)^2-a+b\end{eqnarray}\)

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\(a \gt 0\) より、下に凸のグラフであり、定義域が \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) である

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これより、\(x=3\) のとき最大値をとるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a \cdot 3^2-2a \cdot 3+b\\[3pt]~~~&=&9a-6a+b\\[3pt]~~~&=&3a+b\end{eqnarray}\)

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\(x=1\) のとき最小値をとるので、頂点の \(y\) 座標より、

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　\(y=-a+b\)

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ここで、値域が \(-1{\small ~≦~}y{\small ~≦~}7\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}3a+b=7~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\-a+b=-1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~3a+b&=&7\\~~-\big{)}~~~-a+b&=&-1\\\hline 4a&=&8\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~-2+b&=&-1\\[3pt]~~~b&=&-1+2\\[3pt]~~~b&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=2~,~b=1\) となる