- 数学Ⅰ｜２次関数「2次方程式が実数解の条件と2次不等式」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次方程式が実数解の条件と2次不等式
２次関数 432次方程式 \(x^2+mx+m+3=0\) が実数解をもつような定数 \(m\) の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
2次方程式が実数解の条件と2次不等式
Point：2次方程式が実数解の条件と2次不等式
① 2次方程式の実数解の条件の種類の判別式 \(D\) の式を立てる。
\({\small [\,1\,]}\) 異なる2つの実数解をもつ
判別式 \(D=b^2-4ac \gt 0\)
\({\small [\,2\,]}\) 重解をもつ
判別式 \(D=b^2-4ac=0\)
\({\small [\,3\,]}\) 実数解をもつ
判別式 \(D=b^2-4ac{\small ~≧~}0\)
※ \({\small [\,1\,]}\) かつ \({\small [\,2\,]}\) の条件となる
\({\small [\,4\,]}\) 実数解をもたない
判別式 \(D=b^2-4ac \lt 0\)
② 条件式の2次不等式を解く。
2次方程式の実数解の条件が2次不等式となるときは、
① 2次方程式の実数解の条件の種類の判別式 \(D\) の式を立てる。
\({\small [\,1\,]}\) 異なる2つの実数解をもつ
判別式 \(D=b^2-4ac \gt 0\)
\({\small [\,2\,]}\) 重解をもつ
判別式 \(D=b^2-4ac=0\)
\({\small [\,3\,]}\) 実数解をもつ
判別式 \(D=b^2-4ac{\small ~≧~}0\)
※ \({\small [\,1\,]}\) かつ \({\small [\,2\,]}\) の条件となる
\({\small [\,4\,]}\) 実数解をもたない
判別式 \(D=b^2-4ac \lt 0\)
② 条件式の2次不等式を解く。
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詳しい解説｜2次方程式が実数解の条件と2次不等式
２次関数 43
2次方程式 \(x^2+mx+m+3=0\) が実数解をもつような定数 \(m\) の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
\(x^2+mx+m+3=0\) が実数解をもつので、判別式 \(D{\small ~≧~}0\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~D=m^2-4 \cdot 1 \cdot (m+3)&{\small ~≧~}&0\\[3pt]~~~m^2-4m-12&{\small ~≧~}&0\\[3pt]~~~(m-6)(m+2)&{\small ~≧~}&0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(m-6)(m+2)\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの不等式の解となる
したがって、\(m{\small ~≦~}-2~,~6{\small ~≦~}m\) となる
この問題は、「2次関数 \(y=x^2+mx+m+3=0\) が \(x\) 軸と共有点をもつような定数 \(m\) の範囲の求め方は？」と書き換えることができる。
