- 数学Ⅰ｜２次関数「連立2次不等式の解」の基本例題解説ページです。
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問題｜連立2次不等式の解
２次関数 48連立不等式 \(\left\{~\begin{array}{l}x^2-3x-4 \lt 0\\x^2+x-2{\small ~≧~}0\end{array}\right.\) の解の求め方は？また、不等式 \(2x+3 \lt x^2{\small ~≦~}x+12\) の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
連立2次不等式の解
Point：連立2次不等式の解
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x^2-3x-4 \lt 0\\x^2+x-2{\small ~≧~}0\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① それぞれの2次不等式の解を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~~\begin{array}{l}-1 \lt x \lt 4\\x{\small ~≦~}-2~,~1{\small ~≦~}x\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 数直線上に表し、共通範囲が連立不等式の解となる。
これより、\(1{\small ~≦~}x \lt 4\)
※ \(2x+3 \lt x^2{\small ~≦~}x+12\) は \(2\) つの2次不等式に分けて考える。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}2x+3 \lt x^2\\x^2{\small ~≦~}x+12\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
連立2次不等式の解は、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x^2-3x-4 \lt 0\\x^2+x-2{\small ~≧~}0\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① それぞれの2次不等式の解を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~~\begin{array}{l}-1 \lt x \lt 4\\x{\small ~≦~}-2~,~1{\small ~≦~}x\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
② 数直線上に表し、共通範囲が連立不等式の解となる。
これより、\(1{\small ~≦~}x \lt 4\)
※ \(2x+3 \lt x^2{\small ~≦~}x+12\) は \(2\) つの2次不等式に分けて考える。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}2x+3 \lt x^2\\x^2{\small ~≦~}x+12\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜連立2次不等式の解
２次関数 48
連立不等式 \(\left\{~\begin{array}{l}x^2-3x-4 \lt 0\\x^2+x-2{\small ~≧~}0\end{array}\right.\) の解の求め方は？また、不等式 \(2x+3 \lt x^2{\small ~≦~}x+12\) の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x^2-3x-4 \lt 0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\x^2+x-2{\small ~≧~}0~~~\hspace{3pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-3x-4 &\lt& 0\\[3pt]~~~(x+1)(x-4) &\lt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(x+1)(x-4)\) の \(y \lt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(-1 \lt x \lt 4\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+x-2 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~(x-1)(x+2) &{\small ~≧~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(x-1)(x+2)\) の \(y{\small ~≧~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(x{\small ~≦~}-2~,~1{\small ~≦~}x\)
よって、数直線上に表すと、共通範囲が連立不等式の解となる
したがって、\(1{\small ~≦~}x \lt 4\) となる
この連立不等式を \(2\) つの2次不等式に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}2x+3 \lt x^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\x^2{\small ~≦~}x+12~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2x+3 &\lt& x^2\\[3pt]~~~-x^2+2x+3 &\lt& 0\\[3pt]~~~x^2-2x-3 &\gt& 0\\[3pt]~~~(x-3)(x+1) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(x-3)(x+1)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(x \lt -1~,~3 \lt x\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2 &{\small ~≦~}& x+12\\[3pt]~~~x^2-x-12 &{\small ~≦~}& 0\\[3pt]~~~(x-4)(x+3) &{\small ~≦~}& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(x-4)(x+3)\) の \(y{\small ~≦~}0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(-3{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\)
よって、数直線上に表すと、共通範囲が連立不等式の解となる
したがって、\(-3{\small ~≦~}x \lt -1~,~3 \lt x{\small ~≦~}4\) となる
