- 数学Ⅰ｜２次関数「平行移動後の2次関数の決定」の基本例題解説ページです。
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問題｜平行移動後の2次関数の決定
２次関数 24☆放物線 \(y=3x^2-4x-2\) を平行移動した放物線で点 \((1~,~-1)~,~(2~,~3)\) を通るグラフをもつ2次関数の求め方は？また、放物線 \(y=2x^2\) を平行移動したもので、点 \((1~,~-4)\) を通り、頂点が \(y=-3x\) 上にあるグラフをもつ2次関数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
平行移動後の2次関数の決定
Point：平行移動後の2次関数の決定
① 平行移動前の2次関数の \(x^2\) の係数が平行移動後の2次関数の \(x^2\) の係数と等しいことを利用し、平行移動後のグラフをおく。
\(y=3x^2+bx+c\)
② 通る点の条件を代入し、連立方程式を解く。
③ 求めた値を再代入して、2次関数を求める。
平行移動後の2次関数の決定は、
① 平行移動前の2次関数の \(x^2\) の係数が平行移動後の2次関数の \(x^2\) の係数と等しいことを利用し、平行移動後のグラフをおく。
\(y=3x^2+bx+c\)
② 通る点の条件を代入し、連立方程式を解く。
③ 求めた値を再代入して、2次関数を求める。
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詳しい解説｜平行移動後の2次関数の決定
２次関数 24☆
放物線 \(y=3x^2-4x-2\) を平行移動した放物線で点 \((1~,~-1)~,~(2~,~3)\) を通るグラフをもつ2次関数の求め方は？また、放物線 \(y=2x^2\) を平行移動したもので、点 \((1~,~-4)\) を通り、頂点が \(y=-3x\) 上にあるグラフをもつ2次関数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
\(y=3x^2-4x-2\) を平行移動した放物線は \(x^2\) の係数が \(3\) であるので、
\(y=3x^2+bx+c\)
よって、点 \((1~,~-1)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-1&=&3 \cdot 1^2+b \cdot 1+c\\[3pt]~~~-1&=&3+b+c\\[3pt]~~~-1-3&=&b+c\\[3pt]~~~-4&=&b+c\\[3pt]~~~b+c&=&-4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、点 \((2~,~3)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~3&=&3 \cdot 2^2+b \cdot 2+c\\[3pt]~~~3&=&12+2b+c\\[3pt]~~~3-12&=&2b+c\\[3pt]~~~-9&=&2b+c\\[3pt]~~~2b+c&=&-9~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~2b+c&=&-9\\~~-\big{)}~~~b+c&=&-4\\\hline b&=&-5\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-5+c&=&-4\\[3pt]~~~c&=&-4+5\\[3pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、求める放物線の2次関数は、
\(y=3x^2-5x+1\) となる
平行移動した放物線の頂点の \(x\) 座標を \(p\) とおくと、
頂点は直線 \(y=-3x\) 上にあるので、頂点の \(y\) 座標は \(y=-3p\) となる
また、\(y=2x^2\) を平行移動した放物線であり、\(x^2\) の係数は \(2\)、頂点が \((p~,~-3p)\) となるので、
\(y=2(x-p)^2-3p~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
この放物線が点 \((1~,~-4)\) を通るので代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-4&=&2(1-p)^2-3p\\[3pt]~~~-4&=&2(1-2p+p^2)-3p\\[3pt]~~~-4&=&2-4p+2p^2-3p\\[3pt]~~~0&=&2p^2-4p-3p+2+4\\[3pt]~~~0&=&2p^2-7p+6\\[3pt]~~~2p^2-7p+6&=&0\end{eqnarray}\)
たすき掛けの表より、
\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2&&-3~&~-3\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~1&&-2~&~-4\\[2pt]
\hline
&&&-7
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(2p-3)(p-2)&=&0\\[5pt]~~~p&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に \(p=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2\left(x-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2-3 \cdot \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&2\left(x-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) に \(p=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2(x-2)^2-3 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&2(x-2)^2-6\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=2\left(x-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
\(y=2(x-2)^2-6\)
