解が与えられた2次不等式

2次不等式の解は \(-3 \lt x \lt 1\) であることより、この2次不等式は、

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　\((x+3)(x-1) \lt 0\)

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これより、左辺を展開して整理すると、

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　\(x^2+2x-3 \lt 0\)

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ここで、\(ax^2-4x+c \gt 0\) より、xの係数を \(-4\) にするためには両辺に \(-2\) を掛けると、

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　\(-2x^2-4x+6 \gt 0\)

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したがって、\(ax^2-4x+c \gt 0\) と係数を比較して、\(a=-2~,~c=6\) となる

 
 

【別解】

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\(ax^2-4x+c \gt 0\) の解は \(-3 \lt x \lt 1\) より、2次関数 \(y=ax^2-4x+c\) は上に凸で \(-3 \lt x \lt 1\) の範囲でx軸より上側にある

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よって、この2次関数は \(a \lt 0\) で点 \((-3~,~0)~,~(1~,~0)\) を通るので、

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点 \((-3~,~0)\) を代入すると、

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　\(\begin{eqnarray}~~~0&=&a \cdot (-3)^2-4 \cdot (-3)+c\\[3pt]~~~0&=&9a+12+c\\[3pt]~~~9a+c+12&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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点 \((1~,~0)\) を代入すると、

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　\(\begin{eqnarray}~~~0&=&a \cdot 1^2-4 \cdot 1+c\\[3pt]~~~0&=&a-4+c\\[3pt]~~~a+c-4&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~~~
9a+c+12&=&0 \\~~
-\big{)}~~~a+c-4&=&0\\
\hline 8a+16&=&0
\\[3pt] 8a&=&-16
\\[3pt] a&=&-2\end{eqnarray}\)

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これは、\(a \lt 0\) に適する

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\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~-2+c-4&=&0\\[3pt]~~~c-6&=&0\\[3pt]~~~c&=&6\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=-2~,~c=6\) となる